7 votos

En la determinación del anillo de enteros de un campo del número cúbico

Tengo la siguiente pregunta:

Que $\alpha$ ser una raíz del polinomio $f(x) = x^3-x+1$ y que $K = \mathbb{Q}(\alpha)$. Mostrar que $\mathcal{O}_{K} = \mathbb{Z}[\alpha]$.

Según tengo entendido, necesito mostrar que $\{1, \alpha, \alpha^{2}\}$ forman una base $\mathbb{Z}$ $\mathcal{O}_{K}$, pero no está claro lo que un buen método para decir.

8voto

YequalsX Puntos 320

Si $A$ $\mathbb Z$- subalgebra de $\mathcal O_K$ que abarca $K$ como un vector el espacio, entonces el índice de $[\mathcal O_K:A]$ es finito, y el discriminante de $A$ es igual a $[\mathcal O_K:A]^2$ veces el discriminante de $\mathcal O_K$ (es decir, el discriminante de el campo de número de $K$).

Así que una cosa sensible que se debe hacer cuando se enfrenta con un problema como el tuyo, es comenzar por calcular el discriminante de $A$, ya que esto le dará información acerca de los posibles valores de $[\mathcal O_K:A]$.

Al $A = \mathbb Z[\alpha]$, el discriminante de $A$ es sólo el discriminante del polinomio mínimo de a $\alpha$, y lo es particularmente sencillo de calcular.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X