Determinante de una matriz con $t$ en todas las entradas de la diagonal.

Question

Parece que de jugar con los pequeños valores de $n$ que

$$ \det \left( \begin{array}{ccccc} -1 & t & t & \dots & t\\ t & -1 & t & \dots & t\\ t & t & -1 & \dots & t\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ t & t & t & \dots& -1 \end{array}\right) = (-1)^{n-1}(t+1)^{n-1}((n-1)t-1) $$

donde $n$ es el tamaño de la matriz.

¿Cómo sería un enfoque derivados (o al menos probar) esta formalmente?

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La motivación

Esto surgió cuando alguien le preguntó ¿cuál es la solución general de:

$$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b},$$

y para soluciones no triviales, la matriz de arriba (con $n=3$) debe ser singular. En este caso, $t=-1\implies a+b+c=1$ o $t=\frac{1}{2}\implies a=b=c$.

Así que quería asegurarse de que estas son también las únicas soluciones para el caso con más variables.

Answer 1

Utilizando operaciones elementales en lugar de inducción es clave. $$\begin{align} &\begin{vmatrix} -1 & t & t & \dots & t\\ t & -1 & t & \dots & t\\ t & t & -1 & \dots & t\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ t & t & t & \dots& -1 \end{vmatrix} \\ & = \begin{vmatrix} -t-1 & 0 & 0 & \dots & t+1\\ 0 & -t-1 & 0 & \dots & t+1\\ 0 & 0 & -t-1 & \dots & t+1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ t & t & t & \dots& -1 \end{vmatrix} \\ & = \begin{vmatrix} -t-1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 0 & -t-1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & -t-1 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ t & t & t & \dots& (n - 1)t -1 \end{vmatrix} \\ & = (-1) ^ {n - 1}(t + 1) ^ {n - 1} ((n-1) t - 1) \end{align}$$

Answer 2

Puede escribir la expresión como % $ $$ \det(t C - (t+1)I)$$C = \mathbf{1}\mathbf{1}^T$Dónde está la matriz de todos los $1$, formado por la columna de los tiempos su transposición. Usando el % de identidad $\det(I+cr) = 1+rc$, usted puede primero factor $(t+1)$: $$ \det(t C - (t+1)I) = (-1)^n(t+1)^n \det\left(I - \frac{t}{t+1} \mathbf{1}\right) = (-1)^n(t+1)^n \left(1 - \frac{nt}{t+1}\right) $ $

Answer 3

Tenga en cuenta que su matriz es la suma de la matriz $T$ con todas las entradas igual a $t$ y la matriz $-(1+t)I$. Por lo tanto, el factor determinante que usted está preguntando acerca de es el valor en $X=-(1+t)$ del polinomio característico $\chi_{-T}$$-T$.

Desde $T$ tiene rango (a la mayoría) $1$, su espacio propio para el autovalor $0$ tiene dimensión $n-1$, por lo que el polinomio característico de a $-T$ $\chi_{-T}=X^{n-1}(X+nt)$ (el factor final debe ser que debido a que el coeficiente de $X^{n-1}$$\chi_{-T}$$\def\tr{\operatorname{tr}}-\tr(-T)=nt$). Ahora establecimiento $X=-(1+t)$ da $$ \det(-(1+t))=(- 1-t)^{n-1}(-1-t+nt)=(-1-t)^{n-1}(-1+(n-1)t) $$ como se desee.

Este tipo de pregunta es recurrente en este sitio; véase, por ejemplo, el Determinante de una especialmente estructurado de la matriz y Cómo calcular los siguientes determinantes (todos, menos el $I$).

Answer 4

Aquí es otra caracterización del resultado. Para su comodidad, voy a tener el tamaño de la matriz como $n+1$ en lugar de $n$. En primer lugar, tenga en cuenta que podemos factor de $t$ de cada una de las $n+1$ filas, y así, el determinante puede ser escrito como $$ \det{[t(M-t^{-1} I_{n+1})]} =t^{n+1} \det(M-t^{-1} I_{n+1}) $$ donde$(M)_{ij}=1-\delta_{ij}$$1\leq i,j\leq n+1$.

Siguiente, se observa que la $M$ $n$ independiente de vectores propios de la forma $\hat{e}_i-\hat{e}_{n+1}$ ($1\leq i\leq n$), cada uno con autovalor $-1$; además, $M$ también tiene el autovector $\sum_{i=1}^{n+1}\hat{e}_i$ con autovalor $n$. En consecuencia, el polinomio característico de a $M$ en potencias de $t^{-1}$ $$\det(M-t^{-1} I_{n+1})=(-1-t^{-1})^n (n-t^{-1}) = t^{-n-1}\cdot (-1)^n (1+t)^n (nt+1)$ $ y así el anterior resultado se obtiene el deseo de identidad.