pregunta de estimación Evans libro pde

Question

Estoy leyendo el libro de Evans en PDE y estoy teniendo problemas de comprensión de una estimación.

Define la solución fundamental a Laplace' ecuación de

$ \Phi(x) =\begin{cases} -\frac{1}{2\pi} \, \log(|x|), \, & n=2, \\ \frac{1}{n \, (n-2) \, \omega_n} \, \frac{1}{|x|^{n-2}}, \, & n\geq 3, \end{casos} $$

donde $\omega_n$ es el volumen de la bola de % de $n$.

Para la solución de la ecuación de % de Poisson $ -\Delta u = f$calcula Laplace actuando en la circunvolución de $f$ y $\Phi$, que implica este cálculo:

$$ \bigg|\int_{B(0,\varepsilon)} \Phi(y) \, \Delta_y f(x-y) \, dy \bigg| \leq C \, \lVert D^2f \rVert_{L^\infty} \int_{B(0,\varepsilon)} |\Phi(y)| \, dy \leq \begin{cases} C \, \varepsilon^2 \, |\log(\varepsilon)|, & n=2, \\ C \, \varepsilon^2, & n\geq 3. \end{cases} $$

¿Cómo obtener la última desigualdad?

Answer 1

Sugerencia: use coordenadas polares para integrar la función de green en la bola de $\epsilon$.

Edición: Observar $n\geq 3$ tenemos\begin{align} \int_{B(0, \epsilon)} \frac{dx}{|x|^{n-2}} = \int^\epsilon_0 \int_{|x|=r} \frac{dS(x)}{|x|^{n-2}}\ dr = C\int^\epsilon_0 \frac{r^{n-1}}{r^{n-2}}\ dr = C'\epsilon^2. \end {Alinee el}

Answer 2

siguiente jacky chong de la pista, se me ocurrió algo, y por favor me corrija si estoy equivocado.

asumiendo $\varepsilon < 1$,$\big|\log |x|\big| = - \log|x|, \, \forall \, |x| \in (0,\varepsilon)$. por lo tanto la integración (por partes), llegamos a la

$$\int \big|\log|x|\|\, dx = - C' \int \log(r) \, i \, dr = C' \, \Big( -\frac{\varepsilon^2}{2} \, \log (\varepsilon) + \frac{\varepsilon^2}{4} \big) % = C' \, \Big( \varepsilon^2 \, \big|\log (\varepsilon)\big| + \frac{\varepsilon^2}{4} \Big) \leq C \, \varepsilon^2 \, \big|\log (\varepsilon)\big| $$

puesto que usted puede elegir un constante $C$ tal que $C \, \varepsilon^2 \, \big|\log (\varepsilon)\big| \geq \varepsilon^2$ todos los $\varepsilon < 1$.

pero para $n \geq 3$ todavía tengo ni idea