¿Por qué es $\int \frac{f'(x)}{f(x)}=\ln |f(x)|$ en ecuaciones diferenciales?

Question

He notado que cuando $\int \frac{f'(x)}{f(x)}$ aparece en una ecuación diferencial la respuesta se da siempre como $\ln f(x)$ en lugar de $\ln |f(x)|$ como me enseñaron debería ser. ¿Es debido a la constante arbitraria? En otras palabras, desde $$\int \frac{f'(x)}{f(x)}=\ln |f(x)|+\ln A$$ for some constant $A$, then the answer is $\ln A | f (x) |$ and because $A$ can be positive or negative it follows that there is no point including the absolute signs? Hence the answer is given as $\ln f (x) +C$ for some constant $C$ rather than $\ln | f (x) | + C$. Esto es ¿por qué?

Answer 1

Revisión de la Integración de los Factores de

Considere la posibilidad de integrar los factores en el contexto de ecuaciones lineales, decir $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+p\left(t\right)y=g\left(t\right)$. (A menudo me voy a soltar la entrada de $t$s a partir de ahora.) Nuestra esperanza es multiplicar la ecuación por alguna función $\mu$ a girar a la izquierda en la derivada de un producto, es decir $\left(\mu y\right)'$, por lo que podemos integrar ambos lados y dividir por $\mu$ a resolver para $y$. Tenga en cuenta que por la regla del producto, tenemos $\left(\mu y\right)'=\mu'y+\mu y'$. Para obtener $\left(\mu y\right)'=\mu*\left(y'+py\right)$, debemos buscar a $\mu$ que satisfacer $\mu'=\mu p$. (Esa es una ecuación separable.)

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Valores absolutos en la integración de factores que en su mayoría no importan

Tenga en cuenta que si $\mu\left(t\right)$ es válido factor de integración (en el sentido de que $\mu'\left(t\right)=\mu\left(t\right)p\left(t\right))$, a continuación, defina $\nu(t)=-\mu(t)$ y tenga en cuenta que $\nu'\left(t\right)=-\mu'\left(t\right)=-\mu\left(t\right)p\left(t\right)=\nu\left(t\right)p\left(t\right)$. Pero $\nu'=\nu p$ es exactamente la ecuación de $\nu$ debe satisfacer para ser un factor de integración! Por lo que la negativa de un factor de integración funciona igual de bien.

Ahora supongamos que solucionar $\mu'=\mu p$ y obtener una solución de $\mu\left(t\right)=\left|\omega\left(t\right)\right|$, gracias a una integral de $\dfrac{\omega'\left(t\right)}{\omega\left(t\right)}$. En un intervalo donde el $\omega\left(t\right)$ es siempre no negativo, $\mu\left(t\right)=\omega\left(t\right)$, y no es necesario que el valor absoluto. En un intervalo donde el $\omega\left(t\right)$ siempre es nopositivo, $\mu\left(t\right)=-\omega\left(t\right)$, lo $\nu\left(t\right)=-\mu\left(t\right)=-\left(-\omega\left(t\right)\right)=\omega\left(t\right)$, y usted no necesita preocuparse sobre el valor absoluto, ya que $\nu$ funciona bien, demasiado.

Por lo tanto, si usted ignora el valor absoluto, de obtener soluciones válidas en estos intervalos donde $\omega$ no cambia de signo.

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En la práctica, los valores absolutos en la integración de los factores no importa en absoluto

Una limitación de la discusión anterior es que no hay garantía de que las soluciones en diferentes intervalos será capaz de conectarse al $\omega\left(t\right)=0$. Sin embargo, eso está bien, porque en la práctica un problema como el que suelen surgir debido a que el original de la ecuación diferencial tiene un problema en ese punto.

Por ejemplo, con algo parecido a $ty'+3y=te^{t}$, se podría reescribir como $y'+\dfrac{3}{t}y=e^{t}$, e inicialmente se obtiene un factor de integración de $\left|t\right|^{3}$. Por el argumento anterior, para los positivos $t$ o negativo $t$, usted puede conseguir lejos con $t^{3}$ y aprender que $t^{3}y=\int_{0}^{t}e^{x}\,\mathrm{dx}+C$. Pero, ¿qué acerca de a $t=0$? Bueno, que harían $t^3y$ no decirle a usted acerca de $y$, es $\dfrac{3}{t}$ indefinido, y se harían $ty'+3y=te^{t}$ no dicen nada acerca de la $y'$. De hecho, las soluciones de positivo o negativo $t$ divergen como $t$ enfoques $0$, por lo que no tenía ninguna esperanza de encontrar una solución en un intervalo como $\left[-1,1\right]$, de todos modos.

Answer 2

Escrito $ \int \frac{f'(x)}{f(x)} = \ln f(x)$ implícitamente supone que el $f(x) > 0$. El logaritmo no está definido para números negativos.

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Por qué no es la fórmula general que se necesitan?

Considere la ecuación diferencial $$ y' = ty. $$ Para encontrar las soluciones a tales ecuaciones, se puede proceder en dos pasos.

Paso 1. Supongamos que tenemos una solución de $y: I \rightarrow \mathbb{R}$ donde $I$ es un intervalo abierto. Suponga $y(t) \not = 0$, para todos los $t$. Desde $I$ es un intervalo, entonces cualquiera de las $y > 0$ o $y < 0$. En el primer caso, nos encontramos con $\frac{y'(t)}{y(t)} = t$, a partir de que $\ln y(t) = t^2/2 + C$$y(t) = \alpha e^{t^2/2}$, para algunas de las $\alpha > 0$.

Paso 2. Podemos comprobar que $y(t) = \alpha e^{t^2/2}$, $I = \mathbb{R}$, es de hecho una solución para todas las $\alpha \in \mathbb{R}$ y que todas las soluciones se han encontrado.

Como se puede ver, cuando todo está hecho con cuidado, no es necesario utilizar la fórmula general $\int \frac{f'}{f} = \ln|f|$. Supongo que esto es lo que los maestros tienen en mente cuando se presenta un breve argumento y de la escritura "$\int \frac{y'(t)}{y(t)} = \ln y(t)$".

Answer 3

En mi humilde opinión, el autor generalmente asume $f$ toma valores positivos. Esto es razonable teniendo en cuenta muchas aplicaciones.

Si $f$ no necesariamente toma valores positivos, todavía tienes un malentendido con respecto a la "constante" de integración. Si $\int g(x)\,dx$ te refieres a una primitiva totalmente genérico, entonces $$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln\left\lvert f(x)\right\rvert+C(x)=\ln\left\lvert e^{C(x)}f(x)\right\rvert=\ln\left\lvert A(x)f(x)\right\rvert$$ where $C $ is not exactly a constant function. $C $ is piecewise constant, allowed to change its value wherever $ f (x) = 0 $. Consequently $A $ is also allowed to change value at places where $ f (x) = 0$.

Incluso con $\int\frac{1}{x}\,dx$, funciona como $$\ln|x|+\begin{cases}1&x\gt0\\-1&x\lt0\end{cases}$$ are valid antiderivatives of $ \frac{1}{x}$.

Answer 4

Los matemáticos haciendo ODA suele asumir la complejidad de los cálculos. En ese contexto, la afirmación de $$ \int\frac{dx}{x} = \log |x| + C \etiqueta{1}$$ es simplemente incorrecto. $\log |x|$ no es complejo diferenciable en ningún punto. En particular, no han derivado $1/x$.

Pero, como nota, usted puede escribir $$ \int \frac{dx}{x} = \log x + C \etiqueta{2}$$ incluso cuando $x<0$. El $\log$ e las $C$ tanto puede ser no real de los números complejos. Pero sólo los principiantes, se preocuparía de eso.

Creo fórmulas del tipo (1) fueron inventados por los autores de libros de texto dentro de los últimos 50 años más o menos.