¿Hay una función casi por todas partes $0$ $\mathbb{R}$ cuyo gráfico es denso en $\mathbb{R^2}$?

Question

¿Hay una función casi por todas partes $0$ $\mathbb{R}$ cuyo gráfico es denso en $\mathbb{R^2}$?

¿Cómo establecer el funciton del tan extraño?

Answer 1

Sí. Definir una función $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ tal que para cada $q \in \mathbb{Q}$ y cada intervalo de $I$ hay $p\in I$ tal que $f(p)=q$. En realidad es fácil de lograr, enumerar los pares de $(I,q)$ aquí $I$ es un intervalo con rational extremos (hay countably muchos) de amd $q$ es racional. Ahora en la etapa de $n$ eligió $p \in I_n$, que no ha sido definido, hay infinitamente muchos, y definir $f(p)=q_n$.

Ahora defina $f(x)=0$ si $x$ es irracional.

Para mostrar la densidad deje $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ $\epsilon >0$ eligió $I\subseteq (x-\epsilon, x+\epsilon)$ tener racional de los extremos y $q \in (y-\epsilon, y+\epsilon)$ racional, entonces no es $p \in I$ tal que $f(p)=q$

entonces

$$|(p,f(p))-(x,y)| \leq \sqrt{2}\epsilon$$

Answer 2

Sugerencia: defina $f$ por separado en los racionales y los irrationals.

Answer 3

Enumerar los countably muchas racional (es decir, tener racional centro y radio) discos de $\subseteq \mathbb R^2$ $B_i,i\in\mathbb N$ (o de tomar cualquier otra contables base de la topología). De forma recursiva elegir una secuencia $(x_n,y_n)\in\mathbb R^2, n\in\mathbb N$ con las restricciones siguientes: $(x_n,y_n)\in B_n$$x_n\notin\{x_1,\ldots,x_{n-1}\}$. (Esto es posible porque la primera restricción permite infinidad de $x$ y la segunda restricción impide sólo un número finito). Ahora definir $$f(x)=\begin{cases}y_n&\text{if $x=x_n$ for some $n\in\mathbb N$}\\0&\text{otherwise}\end{cases}$$ A continuación, $f$ es cero excepto en una contables conjunto y su gráfica interseca cada conjunto abierto no vacío, por lo tanto es denso en $\mathbb R^2$.