Dos curiosos "identidades" en la $x^x$,$e$,y $\pi$

Question

Un cálculo numérico en Mathematica muestra que

$$I_1=\int_0^1 x^x(1-x)^{1-x}\sin\pi x\,\mathrm dx\approx0.355822$$

y

$$I_2=\int_0^1 x^{-x}(1-x)^{x-1}\sin\pi x\,\mathrm dx\approx1.15573$$

Un furthur investigación en OEIS (A019632 y A061382) sugiere que $I_1=\frac{\pi e}{24}$ $I_2=\frac\pi e$ (es decir, $\left\vert I_1-\frac{\pi e}{24}\right\vert<10^{-100}$$\left\vert I_2-\frac\pi e\right\vert<10^{-100}$).

Creo que es muy posible que $I_1=\frac{\pi e}{24}$$I_2=\frac\pi e$, pero no puedo averiguar. Es allí cualquier manera posible para demostrar estas identidades?

Answer 1

Usted ha hecho una muy buena observación! A menudo es importante para hacer una buena conjetura de resolver un determinado problema. Así que es sorprendente que usted ha hecho un acierto, sobre todo teniendo en cuenta la complejidad de la fórmula.

He encontrado una solución a la segunda parte integral de aquí, y usted puede también encontrar una solución a la primera integral en el enlace de esta página.

Answer 2

Complementario de cálculo de los residuos de la función

$$f(z)=e^{z\frac{e^z}{e^z-1}}\frac{e^z}{(e^z-1)^3}$$

en su triple poste $z=0$:

$f(z)$ es una función impar.Entonces

$$g(z)=f(z)^{\frac{1}{3}}=e^{\frac{1}{3}z(\frac{e^z}{e^z-1}+1)}\frac{1}{e^z-1}$$

es una extraña función.

Por lo tanto $$g(z)=\frac{A_0}{z}+A_1 z+\cdots$$

y

$$Resf(z)_{\vert z=0}=3A_0^2A_1.$$

$z=0$ es un simple polo,entonces podemos obtener $A_0=e^{\frac{1}{3}}$ sin dudarlo.

$$\frac{1}{e^z-1}=\frac{1}{z}-\frac{1}{2}+\frac{1}{12}z+\cdots=\frac{a_0}{z}+a_1+a_2 z+\cdots$$

$$\frac{z}{1-e^{-z}}+z=1+\frac{3}{2}z+\frac{1}{12}z^2+\cdots=b_0+b_1z+b_2 z^2+\cdots$$

Por lo tanto

$$\exp{(b_0+b_1z+b_2 z^2+\cdots)}=\exp(b_0)+b_1\exp(b_0)z+(b_1^2/2+b_2)\exp(b_0)z^2+\cdots,$$

es decir,

$$e^{\frac{1}{3}z(\frac{e^z}{e^z-1}+1)}=e^{\frac{1}{3}}+\frac{1}{2}e^{\frac{1}{3}}z+\frac{11}{72}e^{\frac{1}{3}}z^2+\cdots$$

Y $$A_1=\frac{1}{12}e^{\frac{1}{3}}-\frac{1}{2}\frac{1}{2}e^{\frac{1}{3}}+\frac{11}{72}e^{\frac{1}{3}}=-\frac{1}{72}e^{\frac{1}{3}}$$

Por lo tanto,$Resf(z)_{\vert z=0}=3A_0^2A_1=-e/24$.