¿Registro infinitamente convergen?

Question

Tratando de evaluar $$\ln(\ln(\ln(\ln(\cdots\ln(x)\cdots))))$$For some fixed $x$ produce una respuesta compleja que parece converger, al menos algunas veces.

Así que quiero una prueba de que este converge para algún $x$, no $x$, o todos los $x$.

Si converge para todos los $x$ o algunos $x$, lo que hace converger?

Si se aleja, hay una manera en que podemos evaluar como nos evaluar divergentes sumas?

Y después de todo eso, tampoco parecen converger en el mismo valor, no importa lo $x$ valor empezamos con?

Sé $\ln(z)=\ln(|z|)+i\arg(z)$, pero no puedo repetir este proceso sin un determinado $z$. (donde $z$ es complejo).

Un puesto similar de minas encontró aquí no contesta a mi pregunta y se centra más en los límites, cálculo, y de infinitos.

En esta pregunta se pide la consideración de un complejo análisis de punto de vista, teniendo en cuenta la convergencia de valor en el plano complejo.

Answer 1

Yo no puedo responder a su pregunta por un número complejo, pero si $x\in\Bbb R^+$ sólo se puede recorrer en $\log$ un número finito de veces antes de que se vuelve complejo.

Deje $b_0=e$$b_{n+1}=e^{b_n}$. Vamos $x\in[1,\infty)$, $a_0=x$, $a_{n+1}=\log a_n$, y deje $N$ ser el mayor entero tal que $b_N\le x<b_{N+1}$.

Así, $$b_N\le a_0<b_{N+1}$$.

La iteración $\log$ $N$ veces en esta desigualdad, se obtiene: $$b_0\le a_N<b_1$$. En otras palabras, $$\begin{align} e\le a_N<e^e & \implies 1\le a_{N+1}<e\\ & \implies 0\le a_{N+2}<1. \end{align}$$

Por eso, $a_{N+3}$ será negativo, y la siguiente iteración será compleja. Si usted está tomando las $\log$ como valor real de la función, sólo se puede recorrer en que un número finito de veces antes de que se convierte en indefinido.

Answer 2

¡Esta respuesta se forma de la investigación numérica sólo! Sin embargo voy a intentar probar mi resultado.

Dada la secuencia $a_n$, definido recursivamente por

$$\begin{cases}a_1=x\\a_n=\ln(a_{n-1})\end{cases}$$

es convergente para todos $x$ diferente

$$0,\;1,\;e,\;e^e,\;e^{e^e},\;...$$

Y su límite está dado por

$$\lim_{n\to\infty} a_n \approx 0.318132 + 1.33724i\quad\text{for }\Re(x)\geqslant0$$ $$\lim_{n\to\infty} a_n \approx 0.318132 - 1.33724i\quad\text{for }\Re(x)<0$$

Estas dos constantes son raíces de la ecuación de $$g=\ln(g)$$ which are equal to, respectively, $% $ $-W_{-1}(-1)\quad\text{and}\quad-W_0(-1)$

donde $W_k$ es la rama de $k$-ésima de la función W de Lambert.