Una pregunta sobre la prueba de la desigualdad de Schwarz

Question

Hay muchas pruebas de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, aquí es uno de ellos: considere el Polinomio cuadrático siguiente: $$f(x)=\left(\sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right)x^2-2\left(\sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right)x+\sum_{i=1}^{n} b_i^2=\sum_{i=1}^{n} (a_ix-b_i)^2.$$ Since $f (x) \geqslant0$ for all $x\in\Bbb R$, it follows that the discriminant of $f(x)$ is negative, i.e., \left(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right) ^ \left 2-\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right) (\sum_ {i = 1} ^ {n} b_i ^ 2\right) \leqslant0 $$por lo tanto:$$ \left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)\geqslant\left(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right)^2.

la pregunta es: ¿por qué somos capaces de decir: "Desde $f(x)\geqslant0$ % todo $x\in\Bbb R$, se deduce que el discriminante de $f(x)$ es negativo"?

Answer 1

El discriminante $D=B^2-4AC$ de una ecuación cuadrática poinomial $Ax^2+Bx+C$ es la cosa que usted tome la raíz cuadrada de encontrar las dos raíces. Así

• $D>0$ corresponde a dos raíces reales
• $D=0$ corresponde a una raíz real doble
• $D<0$ corresponde a dos raíces complejas.

Si $f(x)\ge 0$ todos los $x$, no son, ciertamente, dos raíces reales (entre los que habría un signo diferente, a continuación, fuera). Llegamos a la conclusión de $D\le 0$.

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Más abajo-a-tierra puede observar que $$f(x)=Ax^2+Bx+C=A\left(x+\frac B{2A}\right)^2-\frac{B^2-4AC}{4A}$$ y si $A>0$ esto es $\ge -\frac{B^2-4AC}{4A}$ con la igualdad en $x=-\frac B{2A}$, así que es mejor tener la $-\frac{B^2-4AC}{4A}\ge0$ si queremos $f(x)\ge0$ todos los $x$.

Answer 2

No somos capaces de decir que el discriminante de $f(x)$ es negativo. Mira lo que escribiste: "desde $f(x) \ge 0$ para todo x∈R, se deduce que el discriminante de f (x) es negativo, es decir, $$\left(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right)^2-\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)\leqslant0$$ . This inequality does not follow from what you said (i.e. it is not a strict inequality, which your statement implies). We don't know the discriminant is negative, it could be $0$. We know it can't be positive, for then the quadratic would have two real roots, but since $f(x) \ge$ $0$ $\forall$ $x$ $\in \mathbb{R}$, puede tener como máximo 1 raíz real.