Prueba: Si $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $(a,b,c)=1$, entonces el $c$ es impar.

Question

He intentado el uso de la prueba por contradicción, sin embargo, sigo perderse en los detalles con mi tercer caso. Creo que necesito usar $ \bmod 4 $ pero no estoy seguro de si está bien. Te agradecería punteros o cómo mejorar la prueba (gracias):

Prueba:

Deje $a^{2} + b^{2} = c^{2}$$(a, b, c) = 1$. Supongamos que $c$ es incluso y considere los siguientes casos:

Caso 1: Supongamos $a$ $b$ ser incluso. A continuación, $a^{2} + b^{2}$ incluso $\Rightarrow c^{2}$ es también incluso. Sin embargo, esto es una contradicción ya que el $(a, b, c) = 1$.

Caso 2: Sin pérdida de generalidad deje $a$ ser incluso y $b$ ser impar. A continuación, $a^{2} + b^{2}$ que se extraña $\Rightarrow c^{2}$ es también impar. Sin embargo, esto es una contradicción ya que el $c = 2k \Rightarrow c^{2}$ es incluso.

Caso 3: Supongamos $a$ $b$ ser impar. $a^{2} + b^{2} = (2k + 1)^{2} + (2l + 1)^{2} \equiv 2 \bmod 4$. Sin embargo, esto es una contradicción ya que el $c^{2} \equiv 0 \bmod 4$.

Por lo tanto, por la contradicción, si $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ $(a, b, c) = 1$ $c$ es impar. QED.

Answer 1

Supongamos que $c$ es uniforme, entonces $a$ y $b$ es impar o ambas incluso, siendo ambos aún da $(a,b,c)>1$

Si $a^2$ y $b^2$ son impares entonces $a^2\equiv b^2\equiv 1\bmod 4$% y tan $c^2\equiv 2\bmod 4$y por lo tanto no es un cuadrado. Por lo tanto no puede ser incluso $c$.

Answer 2

$$ \equiv_2 c 0 \Rightarrow c ^ \Rightarrow \equiv_4 0 2 a ^ 2 + b ^ 2 \equiv_4 0 \Rightarrow a b \land de \equiv_2 0 \equiv_2 0 \Rightarrow 2 | (a, b, c) $$ contradictio