Pregunta sobre definición de topológico múltiple

Question

La siguiente definición topológica del colector se da en Lee la Introducción a topológica de los colectores (2000) en la página 33:

Topológico, el colector es un segundo contables espacio de Hausdorff localmente Euclídeo.

Omití la dimensión ya que no es relevante para mi pregunta, así que no es un fiel cita.

Mi pregunta es: no Hausdorffness siga de ser localmente Euclídeo? Pick $x,y$$M$. Luego, para cada punto existe un conjunto abierto homeomórficos a un subconjunto abierto de $\mathbb R^n$. Vamos a llamarlos $U_x, U_y \subset M$. A continuación, cualquiera de ellos ya son distintos o si se cruzan, por Euclidenaity, podemos ir más pequeños bloques abiertos dentro de ellos para que los más pequeños conjuntos no se cruzan. Así que tenemos un espacio de Hausdorff.

Pregunta 1: ¿Qué me estoy perdiendo? ¿Por qué esto no funciona?

Pregunta 2: yo creo que tenemos que exigir segundo countability porque de lo contrario la inconexión de la unión de $\bigsqcup_{r \in \mathbb R \setminus \mathbb Q} (0,1)$ $1$- colector (que no admite una contables de base) . Es que un contador correcto ejemplo?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Para responder a tu primera pregunta. Considere la línea verdadera con dos orígenes. Es decir, copias separados de la línea real e identificar $x$ en la primera copia con $x$ en la segunda copia excepto el punto $x=0$. Este espacio está localmente euclidiana 1 y en segundo lugar contable, pero no Hausdorff. Cualquier dos conjuntos abiertos que contienen ya sea origen tendrán puntos en común.

Más información línea con dos orígenes.

Answer 2

En la primera pregunta: DrKW ya te ha dado un contraejemplo. El error en la prueba de ello es que si $U_x, U_y$ se cruzan, no se garantiza que los más pequeños de abrir los conjuntos usted desea realmente contienen sus originales puntos de $x$$y$.

Sobre la segunda pregunta: Un incontable discontinuo de la unión de los intervalos es de hecho localmente Euclídeo pero no de segunda contables, si usted toma la inconexión de la unión de la topología en ellos. No estoy seguro exactamente lo que quieren decir con su notación, pero estoy preocupado de que usted está tratando de tomar algunas subespacio de $\Bbb{R}^2$, que sería garantizado segundo contables como de segunda countability es una enfermedad hereditaria de la propiedad. (Un incontable unión de intervalos disjuntos en $\Bbb{R}^2%$ también fallará a ser localmente Euclídeo — incluso si los intervalos son distintos, los barrios de puntos en un intervalo será obligado a incluir puntos en otros intervalos.)

Usted también puede encontrar espacios conectados localmente Euclídeo, pero no de la segunda contables; el ejemplo común es el largo de la línea. En cierta manera esta es una de las más importantes contraejemplo que la separe de la unión, como su no-segunda-countability también la lleva a ser desagradable en otras formas (por ejemplo, no admite una partición de la unidad).