Dos diversas definiciones de la elipticidad

Question

Esta es una pregunta proveniente de otra de las matemáticas foro, matematicamente.es (en italiano).

En la literatura uno se encuentra con la palabra elíptica en (al menos) dos definiciones diferentes. En lo que sigue, $\Omega$ es un abierto acotado subconjunto de $\mathbb{R}^n$ $\mathcal{D}(\Omega)$ denota el espacio de las funciones lisas con soporte compacto.

Definición 1 Un operador diferencial (en la divergencia formulario)

$$L(u)(x)=-\mathrm{div} \big( A(x)Du(x) \big) u(x), \qquad x \in \Omega$$

se dice que (uniformemente), elíptica (1) si existe una $\theta >0 $ s.t. la matriz de valores de la función $A$ verifica

$$A(x)\xi \cdot \xi \ge \theta \lvert \xi \rvert^2, \qquad x, \xi \in \mathbb{R}^n.$$

Definición 2 (densamente definido) lineal operador $(L, D(L))$ sobre un espacio de Hilbert $H$ se dice $H$-elíptica (2) si existe una $c >0$ s.t.

$$(Lu, u) \ge c \lVert u \rVert^2, \qquad u \in D(L).$$

Pregunta Vamos A

$$L(u)(x)=-\mathrm{div} \big( a(x)Du(x) \big) u(x), \quad D(L)=\mathcal{D}(\Omega),\quad H=L^2(\Omega).$$

Es cierto que $L$ es de forma elíptica como en definición 1 si y sólo si es $H$-elípticas como en la definición 2? Suponga que $A$ depende continuamente en $x$ y es simétrica en todas partes.

Es sencillo demostrar que la definición 1 implica la definición 2; me resulta trivial para demostrar lo contrario (si es verdad).

¿Qué te parece?

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1) cfr. Evans, ecuaciones diferenciales Parciales, §6.1.1.

2) cfr. Kesavan, Temas de análisis funcional, §3.1.1.

Answer 1

La respuesta es no. Por ejemplo, la definición 2 puede ser satisfecho por subelliptic operadores que no son elípticas, en el sentido de la definición 1. El sublaplacian en el grupo de Heisenberg es un ejemplo.

Voy a añadir algunos detalles más adelante cuando tenga más tiempo.

Edit: en Realidad, a menos que me equivoco, incluso un completo degenerado operador puede satisfacer la definición 2. Deje $\Omega = (0,1)^2$ el de apertura de la unidad de plaza en $\mathbb{R}^2$, y deje $L = - \frac{\partial^2} {\partial x^2}$. Sabemos que $-\frac{d^2}{dx^2}$ es de forma elíptica en todos los sentidos en $(0,1)$, por lo que si $u \in C^\infty_c(\Omega)$, entonces para cada a $y \in (0,1)$ hemos $$-\int_0^1 u_{xx}(x,y) u(x,y) dx \ge c \int_0^1 |u(x,y)|^2 dx$$ para una constante $c$ independiente de $y$. Integrando con respecto a $y$ ahora da el resultado.