Que $\mathbf{Y}$ ser un vector al azar. ¿Es $k$ th momentos de $\mathbf{Y}$ considerado?

Question

Soy auto-aprendizaje en el modelo lineal de la teoría de ahora, y una cosa que me sorprende es que a pesar de $\mathbb{E}[\mathbf{Y}]$ está definido por un vector aleatorio $\mathbf{Y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n\end{bmatrix}$, no hay ninguna mención de más momentos, además de la matriz de covarianza.

Búsquedas en Google no ha subido mucho. Se $k$th (raw) momentos de $\mathbf{Y}$ considera que, o hay una idea diferente yo no sé?

Estoy aprendiendo el texto Plano Respuestas a Preguntas Complejas (el TOC se inicia en el p. 17 del archivo vinculado). Por "considerarse" a lo que me refiero es que hay tal cosa como $\mathbb{E}\left[\mathbf{Y}^k\right]$, y si es así, ¿cómo un concepto se define? El libro que yo tengo sólo cubre el primer raw momento, y me resulta un poco extraño que no hay ninguna mención de cómo definir las $\mathbb{E}\left[\mathbf{Y}^k\right]$ dada mi experiencia en univariante probabilidad, ni tampoco tengo la experiencia para definir.

Además, si $\mathbb{E}\left[\mathbf{Y}^k\right]$ no está definido, hay tal vez un concepto relacionado que no sé sobre que se utiliza en su lugar?

Answer 1

El buen analógico de univariante momentos en multivariante, configuración es ver el exponente $\mathbf{k} = (k_1, k_2, \ldots, k_n)$ como un vector, también. La notación exponencial con el vector bases y el vector de exponentes es una abreviatura para el producto,

$$\mathbf{y}^\mathbf{k} = y_1^{k_1} y_2 ^{k_2} \cdots y_n^{k_n}.$$

Para cualquier vector de $\mathbf{k}$, la (cruda) $\mathbf{k}^\text{th}$ momento de la variable aleatoria $\mathbf{Y}$ se define como

$$\mu_\mathbf{k} = \mathbb{E}\left(\mathbf{Y}^\mathbf{k}\right).$$

Para motivar a dicha definición, considere la posibilidad de un univariante momento de una función lineal de la $\mathbf{Y}$:

$$\mathbb{E}\left(\left(\lambda_1 Y_1 + \cdots + \lambda_n Y_n\right)^m\right) = \sum_\mathbf{k} \binom{m}{\mathbf{k}}\lambda^\mathbf{k} \mu_\mathbf{k}$$

donde la suma se produce en todas las $\mathbf{k}$ cuyos componentes son enteros no negativos números de sumar a $m$ $\binom{m}{\mathbf{k}} = m!/(k_1!k_2!\cdots k_n!)$ son los coeficientes multinomiales. La aparición de la multivariante momentos en el lado derecho muestra por qué ellos son naturales e importantes generalizaciones de la univariante momentos.

Estas se muestran todo el tiempo. Por ejemplo, la covarianza entre el $Y_i$ $Y_j$ no es otro que el

$$\text{Cov}(Y_i, Y_j) = \mathbb{E}(Y_i Y_j)- \mathbb{E}(Y_i)\mathbb{E}(Y_j) = \mu_{\mathbf{k}_i + \mathbf{k}_j} - \mu_{\mathbf{k}_i}\mu_{\mathbf{k}_j}$$

donde $\mathbf{k}_i$ $\mathbf{k}_j$ son el indicador de vectores con ceros en todos excepto en un lugar y un uno en el lugar indicado. (La misma fórmula elegantemente los rendimientos de la varianza de $Y_i$ al $i=j$.)

Hay generalizaciones naturales de todos los univariante momento de conceptos para el ajuste multivariante: un momento de generación de función, cumulants, un cumulant de generación de función, central momentos, una característica de la función, y algebraico y analítico de las relaciones entre todos ellos.

Referencia

Alan Stuart y J. Keith Ord, Kendall Avanzado de la Teoría de las Estadísticas, Quinta Edición. Oxford University Press, 1987: Volumen I, Capítulo 3, Momentos y Cumulants.

Answer 2

En adición a @whuber puntos

1) no estoy seguro de qué modelo lineal teoría implica, pero recuerda que en los modelos lineales, que son por lo general el trato con el normal de las variables aleatorias que tienen 0 sesgo y 0 curtosis.

2) de forma Más general, la pregunta es de la forma "lo preciso que es preciso?". Si queremos describir IID muestras podría decir que yo sólo quiero la media. Alternativamente, se podría decir yo quiero que la media y los errores en los medios. Aún más detallada de la alternativa sería significa, errores en los medios y los errores en los errores en los medios. A partir de este patrón se puede ver cómo los momentos de orden superior mantener montaje. No hay ninguna solución real a este problema para que la gente en general se detiene en el nivel 2 (es decir, la media y la varianza). Que no quiere decir que los momentos de orden superior son inútiles. De hecho, para problemas relacionados con la grasa de cola de las distribuciones de estos problemas se vuelven relevantes