Integración de un derivado parcial

Question

¿Sería correcto pensar que $$\int dx \,\,\,\frac{\partial}{\partial x} f(x,y)=f(x,y)$ $ o hay casos patológicos?

Answer 1

Si $x$ $y$ son variables independientes (y por lo tanto el $y$ se mantiene constante durante el proceso de integración), entonces es cierto que

$$ \int \frac{\partial f}{\partial x} dx = f(x,y) + C(y) $$ donde $C(y)$ es equivalente a la constante de integración para el caso univariante. Como tal, hasta la "constante", estás en lo correcto.

Si $y=y(x)$, entonces no es tan simple. Por ejemplo, si $f(x,y)=x^2-xy+y^2$ y se integra a lo largo de la línea de $y=2x$, entonces usted está realmente la integración de $$ \int \frac{\partial f}{\partial x} dx = \int (2x-y) dx = \int 0 dx = 0 $$

Answer 2

Supongamos que $f(x,y)=x+y$

Entonces no habría ningún término de $y$ en lado izquierdo. También, le falta una constante. de todos modos, estás equivocado.