Regla de Bayes con varias condiciones

Question

Me pregunto cómo se aplicaría la regla de Bayes para expandir una expresión con múltiples variables en ambos lados de la acondicionado bar.

En otro post del foro, por ejemplo, he leído que se podría expandir $P(a,z \mid b)$ usando la regla de Bayes como este (véase Sumar más de probabilidades condicionales): $$P( a,z \mid b) = P(a \mid z,b) P(z \mid b)$$

Sin embargo, directamente usando la regla de Bayes para expandir $P(a,z \mid b)$ no parece ser el camino correcto para comenzar:

$$P(a,z\mid b) = { P(b\mid a,z)P(a,z) \over P(a)}$$

Answer 1

Tenga en cuenta que no aplicar la regla de Bayes. Regla de Bayes dice:

$$P(X|Y)={P(Y|X)P(X) \over P(Y)}$$

por lo que su denominador debería haber sido realmente $P(b)$. En su lugar, utilizo la definición de probabilidad condicional y regla de la multiplicación (que juntos implica la regla de Bayes):

\begin{array}{cc} P(X|Y) =\dfrac{P(X,Y)}{P(Y)} & (1)\\ P(X)P(Y|X) =P(X,Y)=P(Y)P(X|Y) & (2) \end{matriz}

Así, observar que: $$\begin{array}{r@{}ll} P( a,z \mid b) &= \dfrac{P(a,z,b)}{P(b)} & \text{by (1), where } X=a,z \text{ and } Y=b\\ &= \dfrac{P(z,b)P(a \mid z,b)}{P(b)} &\text{by (2), where } X=a \text{ and } Y=z,b\\ &= \dfrac{P(b)P(z \mid b)P(a \mid z,b)}{P(b)} &\text{by (2), where } X=z \text{ and } Y=b\\ &= P(z \mid b)P(a \mid z,b) \\ &= P(a \mid z,b) P(z \mid b) \\ \end{matriz} $$ como se desee.

Answer 2

Para su información, utilizando la regla de la cadena, P(a,z,b) = P(a|z,b)*P(z|b)*P(b)