¿Es el muestreo de una distribución normal plegada equivalente al muestreo de una distribución normal truncada en 0?

Question

Deseo simular a partir de una densidad normal (digamos media=1, sd=1) pero sólo quiero valores positivos.

Una forma es simular a partir de una normal y tomar el valor absoluto. Pienso en esto como una normal doblada.

Veo que en R hay funciones para la generación de variables aleatorias truncadas. Si simulo a partir de una normal truncada (truncamiento en 0), ¿es esto equivalente al enfoque plegado?

Answer 1

Sí, los enfoques dan los mismos resultados para un media cero Distribución normal.

Basta con comprobar que las probabilidades coinciden en los intervalos, porque éstos generan el álgebra sigma de todos los conjuntos medibles (de Lebesgue). Sea $\Phi$ sea la densidad normal estándar: $\Phi((a,b])$ da la probabilidad de que una variante Normal estándar se encuentre en el intervalo $(a,b]$ . Entonces, para $0 \le a \le b$ la probabilidad truncada es

$$\Phi_{\text{truncated}}((a,b]) = \Phi((a,b]) / \Phi([0, \infty]) = 2\Phi((a,b])$$

(porque $\Phi([0, \infty]) = 1/2$ ) y la probabilidad de plegado es

$$\Phi_{\text{folded}}((a,b]) = \Phi((a,b]) + \Phi([-b,-a)) = 2\Phi((a,b])$$

debido a la simetría de $\Phi$ sobre $0$ .

Este análisis es válido para cualquier que es simétrica con respecto a $0$ y tiene cero probabilidades de ser $0$ . Si la media es distinta de cero Sin embargo, la distribución es no simétrica y los dos enfoques hacen no dan el mismo resultado, como muestran los mismos cálculos.

Este gráfico muestra las funciones de densidad de probabilidad para una distribución Normal(1,1) (amarillo), una distribución Normal(1,1) plegada (rojo) y una distribución Normal(1,1) truncada (azul). Obsérvese que la distribución plegada no tiene la forma de campana característica de las otras dos. La curva azul (distribución truncada) es la parte positiva de la curva amarilla, escalada para tener un área unitaria, mientras que la curva roja (distribución plegada) es la suma de la parte positiva de la curva amarilla y su cola negativa (como se refleja alrededor del eje y).

Answer 2

Dejemos que $X \sim N(\mu = 1, SD=1)$ . La distribución de $X|X > 0$ no es definitivamente el mismo que el de $|X|$ .

Una prueba rápida en R:

x <- rnorm(10000, 1, 1)
par(mfrow=c(2,1))
hist(abs(x), breaks=100)
hist(x[x > 0], breaks=100)

Esto da lo siguiente.