¿Por qué no mi apple pesa 500 toneladas?

Question

En relación con esta pregunta: ¿Cuál es la energía potencial de verdad?

$E=mc^2$ - energía es igual a la masa. Por lo tanto, si un objeto tiene energía potencial gravitatoria en relación a otro objeto, debe tener la masa adicional para representar esa energía extra.

Por lo tanto, si yo tengo una manzana en mi mano, debe tener una gran cantidad de energía potencial gravitatoria relativa a un agujero negro en el borde del universo observable. Hice un cálculo rápido de lo mucho que esta energía potencial gravitatoria sería (usando la Ley de Newton de la Gravitación) y llegó a ser el equivalente de alrededor de 500 toneladas (y sólo por un agujero negro!).

Así que, ¿por qué apple no pesan mucho más de lo que parece?

EDIT: Aquí está mi cálculo de la GPE:

Supuestos:

1. La manzana tiene una masa de $m_a=0.3 kg$
2. El agujero negro tiene una masa igual a 1000 masas solares, $m_b=2\times10^{33} kg$
3. La distancia entre la manzana y el agujero negro es de 60 mil millones de años luz

Obviamente $GPE=mgh$ no puede ser utilizado, debido a la aceleración de la gravedad no es constante y varía con la distancia, por lo que ha de ser integrado. He utilizado la Ley de Newton de la Gravitación para proporcionar la aceleración:

$$ F=\frac{G{m_1}{m_2}}{h^2} $$

Un pequeño cambio en la altura produce un pequeño cambio en la energía, que puede ser utilizado para integrar:

$$ \begin{eqnarray*} \delta E&=&F \delta h\\ \int_0^EdE&=&G{m_a}{m_b}\int_1^R\frac{1}{h^2}dh \end{eqnarray*} $$

Yo soy la integración de la fuerza de comenzar a 1m desde el centro del agujero negro, como la fuerza va al infinito en $h=0$. Es un poco crudo, pero debe proporcionar una estimación conservadora.

$$ \begin{eqnarray*} E&=&G{m_a}{m_b}(1-\frac{1}{R})\\ E&\approx& G{m_a}{m_b}\;\;\;\;\;\;(R>>1)\\ G&=&6.673\times 10^{-11}\;\;N(\frac{m}{kg})^2\\ G{m_a}{m_b}&=&4\times 10^{22}\;\;Nm\\ E&=&mc^2\\ \Delta m&=&\frac{4\times 10^{22}}{(3\times 10^8)^2}\\ &\approx&444,000\;\;kg \end{eqnarray*} $$

Así que, un poco corto de 500 toneladas, pero todavía bastante grande!

Answer 1

La respuesta corta, como Kyle notas en un comentario, es que apple es más grande que su radio de Schwarzschild.

La respuesta larga es que la energía potencial gravitatoria es una propiedad del sistema como un todo, no de un objeto individual en el sistema. Por lo tanto no importa que tu apple tiene una gran cantidad de energía potencial gravitatoria en relación a algún objeto (la tierra, el sol, un agujero negro, etc.) a menos que usted está preguntando por qué todo el sistema se colapsa en un agujero negro (es decir, ¿por qué no la de la tierra y el sistema solar colapsar en un agujero negro). Así que si usted tiene un sistema con una gran cantidad de energía potencial gravitatoria, usted todavía tiene que pensar en la escala del sistema. Si dos objetos pesados en conjunto tienen una gran cantidad de energía potencial gravitatoria, pero están muy lejos, entonces el sistema como un todo (los dos objetos) será mucho mayor que su radio de Schwarzschild.

Edit: he contestado a esta pregunta cuando el título era "¿por Qué mi apple no colapsar en un agujero negro?" Sin embargo, la respuesta sigue siendo relevante. La energía potencial gravitatoria es una propiedad del sistema como un todo, no sólo uno de los componentes de las partículas en el sistema.

Answer 2

Para un sistema de atado que no es masivo suficiente significativamente la curva el espacio-tiempo, creo que es cierto que el sistema de la resistencia a la aceleración (es decir, su masa inercial) en el marco del resto de su centro de masa es proporcional a la energía interna total del sistema. Esto incluiría la energía en masa de todos los componentes de las partículas, la energía cinética de todas las partículas en el centro de masa de marco, y el interno de la energía potencial, definida, de modo que el cero de energía potencial corresponde a todos los componentes de las partículas se mueven lejos el uno del otro (tenga en cuenta que sólo las diferencias en la energía potencial tiene real significado físico, como la diferencia de potencial entre las partículas de lejos y se acoplan--es una arbitraria importa cuál es la configuración que elija para definir como "cero" potencial). Es por eso que, como se señaló en esta página, un núcleo de Helio que consta de dos protones y dos neutrones en realidad pesa un poco menos que la suma de los pesos de dos aislados de los protones y dos neutrones aisladas, porque si el potencial de estos nucleones se define como cero cuando están lejos entre sí, entonces su energía potencial cuando se unen juntos en un núcleo es negativo. En general, si hay una fuerza de atracción entre dos objetos los objetos que tendrá menor energía potencial cuando la cerca que lejos.

Del mismo modo, la diferencia de potencial entre una colección de partículas enlazadas en una manzana y de la misma colección si todas las partículas fueron esparcidos lejos contribuye a la manzana de la masa inercial (que contribuye negativamente a la masa inercial, haciendo que el de apple pesa un poco menos que la suma de los pesos de todas sus partículas individuales si se mide cuando lejos, ya que las fuerzas de unión de las partículas de la manzana juntos son atractivos). Pero la manzana de la energía potencial en relación a algo externo , como la Tierra, no, aunque sería contribuir a la masa inercial de la combinación de manzana/sistema de la Tierra.

Answer 3

Creo que la cuestión fundamental no tiene nada que ver con los agujeros negros, pero tiene que ver con la distinción entre la fuerza gravitacional (peso) y la energía potencial gravitatoria.

El cambio en la energía potencial de la manzana y el lejano agujero negro (si uno lleva a cabo la ruta adecuada integral), de hecho, bastante grande. Pero la fuerza de la gravedad es pequeña. Esto es posible debido a que la fuerza gravitacional es la (negativo) el espacio de la tasa de cambio de energía potencial gravitatoria; es decir, $F=-dU/dx$. No puede ser que un gran $\Delta U$, pero $dU/dx$ ser bastante pequeño en algún momento.

Answer 4

Debe haber algún error en su cálculo. Mi cálculo usando la ley de Newton de la gravedad sugiere que la mitad de objetos energía es energía potencial. Lo siguiente es una simulación de bajar un objeto de 1 kg colgado de una cadena que no se extiende al horizonte de sucesos de un agujero negro (versión en línea).

# A Python script:
G= 6.673*10**-11
M=10**27
m=1.0
c=299792458.0

def swartrad(m):
    return (2*G*m) / (c**2)

print "schwartschildradius" , swartrad(M)   

def force(m,M,d):
    return (G*m*M) /(d**2)

pos=200*swartrad(M) 
endpos= swartrad(M)

step=0.001
energy=0
while pos>endpos:
    energy += force(m,M, pos)*step
    pos -= step


print "potential energy of one kilo" , energy
print "total energy of one kilo    " , c**2
print "ratio" , energy / c**2

Answer 5

Usted está leyendo la fórmula al revés. Con $$\tag{1}E = mc^2$$ nos referimos a que la energía asociada a la masa de $m$ de una partícula en reposo es $E=mc^2$. En otros palabras, (1) estrictamente sostiene que para una partícula en reposo, sin interactuar con nada.

¿Qué pasa con toda la energía potencial que una partícula tiene? Que deben ser incluidos en el lado derecho de (1). Por lo que la versión de (1) incluyendo la energía potencial sería $$ \tag{2} E = mc^2 + E_g,$$ con $E_g$ denotando toda la energía potencial gravitacional de las contribuciones que se desea. Así que ahora usted puede sustituir a $E_g$ con sus calcula la energía potencial gravitatoria (y luego, por supuesto, toda la energía gravitacional contribuciones provenientes de la interacción de la manzana con el resto del universo... buena suerte con eso).

Ahora es crucial entender que (como también se ha señalado por Phoenix en los comentarios) de la energía siempre se define a una constante, y lo que físicamente de los asuntos en la dinámica de una partícula (o una manzana) es el cambio en la energía entre los dos estados (dicen los de apple en el punto a y el de apple en el punto B). Por lo $E_g$ puede ser tan grande como tú quieras (puede ser infinito, para el caso), y que no cambiaría nada en la dinámica de la manzana. Esta es la forma en que generalmente no está incluido, a menos que la energía gravitacional juega un papel en los cálculos. Se podría pensar en una versión más general de (1) como siendo algo así como $$ \tag{3} E = \sqrt{m^2c^4 + c^2p^2} + E_{gravitational} + E_{em} + E_{whatever} + C, $$ donde $E_{em}$ realiza el recuento de la electromagnética, la interacción del objeto con el resto del universo (si es que existe), $E_{whatever}$ realiza el recuento de todas las otras posibles interacción usted puede pensar, y $C$ es una constante que siempre se puede elegir arbitrariamente. Obviamente, la escritura (1) como (3) sería en la mayoría de los casos inútil, y por lo tanto sólo las contribuciones pertinentes están incluidos.

Así que, para concluir, la misa en $F=ma$ el mantenimiento de la cuenta de correcciones relativistas es justo $$ \tag{4} m = \gamma m_0 \equiv \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}},$$ donde $\gamma$ es el factor de Lorentz, $m_0$ el resto de la masa utilizada en (1), y $v$ la velocidad de la partícula. Einstein, la fórmula está destinado a contar la cantidad de energía que se podría obtener por completo con la desintegración de la masa de una partícula, no como una manera de calcular la masa inercial de un objeto.