Como licenciado en informática que había sólo un curso básico de álgebra abstracta, quiero estudiar algo de álgebra abstracta en mi tiempo libre. He estado buscando a través de algunos libros sobre el tema, y la mayoría parecen 'sólo' cubierta de grupos, anillos y campos. ¿Por qué es este el caso? A mí me parece que usted quiere para el estudio de estructuras más simples como semigroups, demasiado. Buscando en la Wikipedia, parece ser que hay una enorme zoológico de diferentes tipos de semigroups.
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YequalsX
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No hay tanta sustancial que decir acerca de general semigroups a un nivel introductorio, en comparación con los grupos de decir, y de lo que hay que decir a este nivel (por ejemplo, la teoría de Green relaciones) tiende a basarse en un conocimiento previo de los grupos, en cualquier caso. (Una cosa que tengo en mente aquí --- pero estoy hablando como un no-experto --- es que el semi-grupos están mucho más cerca de general álgebra universal de los grupos, y álgebra universal no es, yo diría, un tema para un primer curso de álgebra abstracta.)
La teoría de grupos se presta muy bien para un primer curso, ya que los axiomas son bastante simples, pero bastante rápido a la no-trivial, teoremas, tales como los teoremas de Sylow. Grupos (especialmente del grupo de acciones) también son omnipresentes, y el tipo de recuento de los argumentos que uno puede hacer, son muy útiles para aprender. (Es la incapacidad para hacer este tipo de recuento de los argumentos que causa tantos problemas a la hora de investigar semi-grupos, en comparación con el caso de los grupos).
La teoría de los campos es particularmente útil en la teoría de números y teoría de Galois también proporciona un buen empate en la teoría de grupos, que en realidad sirve como Galois de la motivación para la introducción de grupos en el primer lugar. La teoría de los campos (especialmente la parte relacionada con la búsqueda de raíces de polinomios) es también la parte de álgebra abstracta que es la más cercana a la escuela secundaria álgebra, por lo que no es de extrañar que hay una considerable atención en él.
La teoría de anillos normalmente aparece tanto porque es un precursor de la teoría del campo (campos son tipos particulares de los anillos, y el polinomio anillos de $F[x]$ también juegan un papel importante en el estudio de los campos), y porque incluye muchos ejemplos básicos de las matemáticas, tales como la matriz de los anillos, los enteros, los cuaterniones, y así sucesivamente. Los anillos también juegan un papel importante en el estudio del grupo de representaciones (a través de la aparición del grupo de los anillos), que, incluso si no aparecen en un primer supuesto, están en el horizonte.
Resumen: Así que, en general, creo que la respuesta es que los grupos, anillos y campos, son las partes de álgebra que están más estrechamente relacionados con el núcleo básico de los temas de matemáticas, y también están estrechamente integrados el uno con el otro. (Grupos que no inmediatamente obvio, pero debido a la teoría de Galois y el grupo de los anillos, por ejemplo.) La teoría de la semigroups, por el contrario, no tienen mucho rol en el resto de las matemáticas y la teoría de que sí existe es más complicada que la teoría de grupos (a pesar de los axiomas más simple).
Lorin Hochstein
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Históricamente, el primer "álgebra moderna" libro de texto se van der Waerden en 1930, que siguió a la de los grupos/anillos/campos de modelo (en ese orden).
Hasta donde yo sé, el primer papel con trivial resultados en semigroups fue publicada en 1928, y el primer libro de texto sobre semigroups tendría que esperar hasta la década de 1960.
También hay un ligero problema con la noción de "simple". Es cierto que semigroups tienen menos axiomas de grupos, y como tal debe ser más "omnipresente". Sin embargo, la teoría de la semigroups es también, en cierto sentido "más compleja" que la teoría de grupos, así como la teoría de la no conmutativa de los anillos es más difícil que la de anillos conmutativos (aunque conmutativa anillos son "más compleja" de los anillos porque tienen un extra de axioma) y la teoría de la estructura de los campos es más sencillo que el de los anillos (menos ideales, para una cosa). Los grupos tienen la ventaja de ser un buen punto de equilibrio entre la simplicidad de la estructura y, sin embargo, la capacidad de obtener una gran cantidad de trivial y poderosos resultados con relativamente poca requisitos: más de 1 semestre cursos, incluso en el nivel de licenciatura, es probable que llegar a los teoremas de Sylow, una piedra angular de la teoría de grupos finitos. Semigroups requieren mucho más de la maquinaria, incluso para el estado de los teoremas de isomorfismo (necesita noción de congruencias).
Matt Dawdy
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Histórico de la inercia. Un número relativamente pequeño de personas que fueron responsables de más o menos decidir la moderna álgebra abstracta plan de estudios, alrededor del comienzo del siglo 20, y sus ideas fueron tan influyentes que su elección de los temas, rara vez se cuestiona, para mejor o para peor. Véase, por ejemplo, la Sección 9.7 de Reid de Pregrado álgebra conmutativa.
Bryan Roth
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Permítanme mencionar que mi primera (de grado!) curso de álgebra hizo comenzar con el estudio de monoids.
En realidad eso no es cierto. Todo empezó con un categórico perspectiva, especialmente el "cociente de principio": cuando un mapa de factores a través de otro. En algún momento temprano en adjoint functors fueron introducidas. Y entonces, tal vez de 2-3 semanas en el curso, empezamos a hablar acerca de monoids. Recuerdo especialmente la libre monoid en el set $X$, lo que se conoce como el James de la construcción. Un amigo de la infancia-que es, por uno de la vida coincidencias, también un matemático; en el momento en que él era un bachillerato de dos años por delante de mí, me vino a visitar a la universidad alrededor de un mes en el trimestre y él estaba muy sorprendido por lo que vio en el curso. Finalmente empezamos en grupos de unas cinco semanas. (El instructor, Arunas Liulevicius, fue famoso por hacer este tipo de cosas y ordenar de lo que es trabajar debido en parte a su gran entusiasmo y cordialidad.)
Así, el concepto de monoids ha estado conmigo esencialmente para mi toda la matemática de la carrera. Yo pienso en esto como una (ligera) ventaja, ya que un montón de gente parece simplemente no tienen esta palabra en su vocabulario y se van tan lejos como para rien cuando alguien más lo dice. Esto es ridículo, porque ellos son una estructura natural que viene todo el tiempo, y, por ejemplo, el grupo de la finalización de un conmutativa monoid debe ser parte de cada matemático del kit de herramientas.
Sin embargo, estoy de acuerdo en que el estudio general de monoids parece no ser tan gratificante como el de los grupos, anillos, campos (o módulos). Como evidencia hacia el este, tengo algunas notas de la conferencia en semigroups y monoids que escribí hace un par de años. Pero parecía que no se iba a ningún lugar interesante en cualquier momento, así que me detuve en $11$ páginas y puede o no puede volver a ellos más tarde.
Con todo, esto puede ser una situación en la que es bueno dar la definición, unos sencillos ejemplos de la definición y, a continuación, seguir adelante y permitir al estudiante la oportunidad de ver la estructura se repite en su posterior experiencia matemática.
David HAust
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El sesgo en contra de menos de moda y/o "aplicada" álgebra en mayores álgebra abstracta de los libros de texto es en parte un resultado de la tradición, y en parte debido a la histórica prejuicios - no sólo en contra de aplicar el álgebra, sino también campos estrechamente relacionados, por ejemplo, la combinatoria. Jóvenes matemáticos pueden no ser conscientes de que, no hace mucho tiempo, trabajo computacional de álgebra y combinatoria tengo un poco de respeto de muchos de los matemáticos puros. Por ejemplo, estas ramas de las matemáticas eran tan rechazado que el líder algebraica de los geómetras mantenido en secreto, que fueron adquiriendo conocimientos por el paso de Gröbner los cálculos de base para el departamento de informática.
Afortunadamente hoy en día la mayoría de esos prejuicios son historia antigua, con un par de generaciones de matemáticos de haber sido criado en la era de la computadora que se está expuesto, de primera mano para diversas aplicaciones de álgebra (por ejemplo, bases de Gröbner, criptografía, teoría de la codificación). Además, diversos autores han defendido relacionados con los campos que merecen respeto, por ejemplo, de la Rota de la escuela de la combinatoria. Los pioneros sabía hace mucho tiempo que estos campos vendría pronto a la palestra. Por ejemplo, a continuación es un extracto pertinente de un Zbl revisión de la primera (1974) edición de Hungerford del Álgebra por un investigador líder en semigroup teoría (B. M. Schein).
El libro habría sido sin duda uno de los mejores manuales de álgebra si había sido publicado quince o más años. Sin embargo, hoy en día parece estar fuera de fecha. Lo que se dice en el libro se dice de forma clara y bien y se lee con el placer intelectual. Sin embargo, el título del libro es engañosa para no muy moderno libro sobre álgebra puede ser considerado ni remotamente completa y la presentación de un sin distorsión de la imagen del álgebra como es, a menos que contenga los capítulos sobre redes y semigroups. El presente libro carece de ambos capítulos. Es modelada después de la famosa de van der Waerden libro, pero que no tiene en cuenta un gran cambio que se produjo después de la revolución iniciada por van der Waerden. Uno no puede sino estar de acuerdo con G. Birkhoff [Amer. De matemáticas. Mensual 80, 760-782 (1973)] cuando él dice: "ya No los axiomas y deductivo de los sistemas, modelado después de Euclides y sus Elementos, parecen tan fundamental. Tampoco los grupos o de los anillos, con sus subgrupos, subrings y morfismos... en su Lugar, los tipos de expresiones algebraicas estructuras ... que son más relevantes para las computadoras digitales y combinatoria son los bucles, monoids y celosías (o groupoids, semigroups y semilattices), que fueron ignorados por la mayoría de los algebraists en 1930-1960".
Si usted estudia la historia de las matemáticas pronto se dará cuenta de que las modas vienen y van en matemáticas, al igual que en París o Milán. Tratamos, podemos predecir que poco conocido de la rama esotérica de matemáticas pronto llegará a la palestra a jugar un papel crucial en algunas aplicaciones. Incluso Hardy puro paraíso de la teoría de los números ahora tiene importantes aplicaciones en criptografía. Los físicos siguen marvel en el que La Irrazonable Efectividad de las Matemáticas en las Ciencias Naturales.
Así que, en resumen, no dejes que los prejuicios del pasado, erróneamente, de la influencia de sus estudios de álgebra y matemáticas. Hoy en día no puede haber ninguna duda de que la teoría de la semigroups, celosías, y la combinatoria juegan un papel fundamental en ciencias de la computación (así como los de las matemáticas).
