Recientemente he leído un artículo sobre el teorema de los números primos, en el cual los matemáticos Erdos y Selberg afirmaron que probar $\lim \frac{p_n}{p_{n+1}}=1$, donde $p_k$ es el $k$-ésimo primo, es un paso muy útil hacia la demostración del teorema de los números primos, aunque no sé cómo, principalmente porque no he pasado por la prueba del teorema ni una vez.
De todos modos, estaba tratando de demostrar el resultado $\lim \frac{p_n}{p_{n+1}}=1$ mediante métodos realmente elementales, como siempre es mi costumbre, y hace muy poco aprendí un teorema que establece que la suma de los recíprocos de los primos diverge (solo soy un principiante). La idea que de repente me vino a la mente es que este teorema implica que $\limsup\frac{p_n}{p_{n+1}}=1$, mediante una simple aplicación de la prueba de la razón y el hecho de que $\frac{p_n}{p_{n+1}} < 1$ para todo $n$. Entonces, ¿hay alguna manera sencilla de demostrar que $\liminf\frac{p_n}{p_{n+1}}=1$ o al menos $\ge1$, para que el resultado esté demostrado?
Otro resultado hermoso que me vino a la mente, que sigue del teorema sobre la divergencia de $\sum\frac{1}{p}$, es que dado cualquier $h > 1$ hay infinitos valores de $n$ tales que $p_n < h^n$. ¿Hay otros resultados con demostraciones realmente simples (fáciles de entender incluso para principiantes como yo) que tengan consecuencias profundas en la teoría de la distribución de los números primos? ¡Me gustaría escucharlos realmente!
