Vectores propios y subespacios invariantes

Question

Deje $T:V \rightarrow V$ ser una transformación lineal donde $V$ es de un número finito de dimensiones de espacio vectorial. Deje $W \subset V$ ser tal que $T(W) \subset W$. Si $v_1, v_2, \ldots ,v_n \in V$ son autovectores correspondientes a autovalores distintos $\lambda_1, \lambda_2, \ldots ,\lambda_n$$T$$v_1 + v_2 + \ldots + v_n \in W$, demostrar que cada una de las $v_i \in W$.

He podido demostrar que todas las anteriores vectores propios linealmente independientes y que al menos un $v_i$ se encuentra en $W$ pero, ¿cómo puedo mostrar todos los $v_i's \in W$? Cualquier sugerencia se agradece.

Nota: aunque este tiene una tarea etiqueta, debo destacar que este no es mi tarea. Han pasado algunos años desde la última vez que tomó un curso de la universidad. He encontrado esta pregunta, mientras que ir a través de algunos (realmente) papeles viejos en mi escritorio!

Answer 1

Esta afirmación puede ser en realidad resultó bastante sencilla por medio de una simple inducción sobre el número de autovectores $n$. Es fácil ver que es cierto en el caso de $n = 1$: si $v_1 \in W$,$v_1 \in W$. Ahora supongamos, por ejemplo, examinamos la afirmación en el caso de dos vectores propios $v_1$, $v_2$. Luego tenemos a $v_1 + v_2 \in W$ y ya $T(W) \subset W$, $T(v_1 + v_2) \in W$ así. Pero $T(v_1 + v_2) = Tv_1 + Tv_2 = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2$ donde $\lambda_i$ es el autovalor correspondiente a$v_i$$i = 1, 2$. Por lo tanto $ \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 \in W$. También tenemos $\lambda_1 v_1 + \lambda_1 v_2 = \lambda_1(v_1 + v_2) \in W$ desde $W$ es un subespacio. A partir de estas observaciones podemos ver que $(\lambda_2 - \lambda_1)v_2 = ( \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2) - \lambda_1(v_1 + v_2) \in W$. Desde $\lambda_2 \ne \lambda_1$ $W$ es un subespacio, nos encontramos con que $v_2 \in W$, de donde $v_1 = (v_1 + v_2) - v_2 \in W$ también. Por lo $v_1, v_2 \in W$. Estos argumentos establecer el $k = 1, 2$ de los casos como bases para la inducción; ahora supongamos que el resultado se cumple para cualquier colección de $k$ autovectores $v_i$ de $T$, $T v_i = \lambda_i v_i$ para$1 \le i \le k$$\lambda_i \ne \lambda_j$$i \ne j$. Deje $\sum_1^{k + 1}v_i \in W$ $k + 1$ autovectores $v_i$. A continuación, $T(\sum_1^{k + 1}v_i) = \sum_1^{k + 1}\lambda_i v_i \in W$ a lo largo de con $\lambda_{k + 1} (\sum_1^{k + 1} v_i) = \sum_1^{k + 1} \lambda_{k + 1} v_i \in W$; por lo tanto $\sum_1^k (\lambda_i - \lambda_{k+1}) v_i = \sum_1^{k + 1}\lambda_i v_i - \sum_1^{k + 1} \lambda_{k + 1} v_i \in W$. Pero el $(\lambda_i - \lambda_{k + 1}) v_i$, $1 \le i \le k$, son los mismos vectores propios de a $T$ tener distintos valores propios, ya que $T((\lambda_i - \lambda_{k + 1}) v_i) = \lambda_i (\lambda_i - \lambda_{k + 1}) v_i$. Por lo tanto, por la hipótesis inductiva tenemos $(\lambda_i - \lambda_{k + 1})v_i \in W$$1 \le i \le k$; por lo tanto, esta $v_i \in W$ desde $\lambda_i - \lambda_{k + 1} \ne 0$, y en virtud del hecho de que $v_{k + 1} = \sum_1^{k + 1} v_i - \sum_1^k v_i$, $v_{k + 1} \in W$ así. La inducción, y por lo tanto la prueba está completa. QED.

Espero que esto ayude. Saludos,

y como siempre,

Fiat Lux!!!