Soluciones del número entero de $ x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3 $

Question

Considerar la ecuación de $$ x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3 $ $ para triples de números enteros $(x, y, z) $.

Me di cuenta de que esto tiene infinitamente muchas soluciones: $ x, y $ arbitrarias y $ z=-y $.

¿Hay más soluciones?

Answer 1

$$(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3)=3(x+y)(y+z)(z+x)$$

por lo que las soluciones sólo son los observados de la OP y sus contrapartes cíclico simétricos. No hay ninguna teoría número esencial te vas de aquí, sólo una identidad algebraica.

Answer 2

Demasiado largo para un comentario. Curiosamente, para $k>3$, hay soluciones no triviales,

$k=4;\quad x_i = -2634, 955, 1770, 5400$: (Jacobi-Madden ecuación)

$$x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4 = (x_1+x_2+x_3+x_4)^4$$

$k=5;\quad x_i = - 3, - 54,24,28,67 $:

$$x_1^5+x_2^5+\dots+x_5^5 = (x_1+x_2+\dots+x_5)^5$$

$k=6;\quad x_i = -4170, -3187, -888, 1854, 3300, 3936, 4230$:

$$x_1^6+x_2^6+\dots+x_7^6 = (x_1+x_2+\dots+x_7)^6$$

$k=7;\quad x_i = -230, -353, -625, -673, 184, 443, 556$:

$$x_1^7+x_2^7+\dots+x_7^7 = (x_1+x_2+\dots+x_7)^7$$

y más queridos por $k = 8,9,10$ (Véase el 6 de abril de actualización).

P. S. Los casos $k=4,5$ incluye curvas elípticas, por lo tanto, hay un número infinito de co-prime soluciones.

Answer 3

Para tales ecuaciones:

$$(x+y)^3+x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3$$

Puede escribir la fórmula.

$$x=3p^2+18ps-s^2$$

$$y=15p^2-6ps-5s^2$$

$$z=3p^2-6ps+7s^2$$