El problema está en el libro Mecánica de las conferencias de Landau en física teórica
Encuentra la relación de los tiempos en el mismo camino para las partículas que tienen masas diferentes pero la misma energía potencial. (página 22 segunda edición)
El problema no te da mucha información, pero sólo el hecho de que la energía potencial a lo largo del camino sigue siendo la misma. Así que la primera (y única) cosa que se da es que $$U'=U$$ donde $U$ es la energía potencial.
Mi primer intento: Pensando en los caminos traté de usar las relaciones dadas $$t'/t = (l'/l)^{1-k/2}$$ $$E'/E = (l'/l)^k$$ y $$v'/v = (l'/l)^{k/2}$$ Donde las anotaciones anteriores son respectivamente tiempo, energía total y velocidad. Como él dice cualquier cantidad mecánica en los momentos correspondientes está en una relación que es una potencia de $l'/l$ Traté de encontrar una relación para el tiempo y la masa de tal manera que sé la respuesta de la problema es $t'/t = m'/m$ así que, si definimos
$$ \bar {f} = \lim_ { \tau \rightarrow \infty } \frac {1}{ \tau } \int_ {0}^{ \tau }f(t) \mathrm {d}t$$ podemos conseguir que $$U' = U \Leftrightarrow \bar {U'} = \bar {U}$$
Pero esto implica, debido a la relación $ \bar {U} = \frac {2E}{k+2}$ que $E' = E$ y que $ \bar {T'} = \bar {T}$ así que $$m' \bar {v'}^2 = m \bar {v}^2$$ de tal manera que podamos poner $m'/m = (v'/v)^{-2} = (l'/l)^{-k} = (t'/t)^{ \frac {-k}{1-k/2}}$ así que
Cómo lo consigo $ \frac {-k}{1-k/2} = \frac {1}{2}$ ? ¿Estoy haciendo algo malo? ¿Hay un enfoque más agradable para el problema?
Mi segundo intento: Pensando en los caminos pensé que si podía encontrar $l$ y $l'$ explícitamente, puede ser como una función que surge de la acción, el problema se hizo más fácil. ¿Es esto posible?
