Cómo puede uno comparar estos dos 4-variedades

Question

Nos gustaría comparar los siguientes dos reales 4 dimensiones de los colectores:

1)$M$=La tangente paquete de $S^{2}$

2)$N$= El espacio total de la canónica de la línea de paquete de más de $\mathbb{C}P^{1}\simeq S^{2}$

Son estos dos colectores de homeomórficos? Son diffeomorphic?

Algunas observaciones: tienen el mismo homotopy tipo. Así que no hay un evidente obstáculo para $M$ $N$ a ser homeomórficos. Por otro lado $M$ es parallelizable. Así que es natural preguntar: Es $N$ parallelizable, también?

Es el más tarde equivalente a hacer " Es $TS^{2}\oplus \ell$ trivial real 4 dimensiones del paquete. Donde $\ell$ es el realification de la canónica de la línea de empaquetado?"?

Answer 1

Usted puede probar que no son homeomórficos empleando la misma estrategia que en la respuesta aquí.

Si fueran homeomórficos, por lo que sería uno de sus punto de compactifications, y, por tanto, que tendrían la misma cohomology. $TS^2$ no se ha incorporado con esferas de auto-intersección número 1; el canónica de la línea de paquete (la sección cero!)

Otra forma de expresar esto: la intersección de la forma $H_2(M) \otimes H_2(M) \to \Bbb Z$ está bien definido para cualquier 4-colector, compacto o no, y se conserva por homeomorphisms. (Si usted desea tener cuidado acerca de esto, usted quiere pensar en ello en términos de no-compacto de la dualidad de Poincaré. Podemos evitar que en la situación anterior b/c es un caso especial, donde el cohomology de la 1-pt compactification es que de $H^*(BV,SV)$.) Así que uno sólo verifica que para $TS^2$, $\iota(\sigma_0,\sigma_0) = 2$ y para $\kappa$, $\iota(\sigma_0, \sigma_0) = 1$, a pesar de la sección cero $\sigma_0$ ser un generador de $H_2(M)$ en ambos casos.

Answer 2

Stiefel segunda clase whitney su paquete $TS^2\oplus l$ no es cero. Para las clases de chern se puede ver

$$c(TS^2\oplus l)=(1+2a)(1-a)=1+a$$

$a$ Dónde está el generador de $H^2(S^2;\mathbb{Z})$ (aquí veo $l$ con la compleja estructura todavía). Teniendo mod 2 reducción que muestra el segundo stiefel clase whitney no es cero.

Answer 3

He aquí otro (probablemente innecesariamente elaborado) la prueba de que no son diffeomorphic el uso de Eliashberg increíble teorema sobre el cual se abren $2$-handlebodies admitir Stein estructuras y la contigüidad de la desigualdad de Stein superficies. Lo siento si este no es realmente accesible para la persona que pregunta.

$M$ es el 4-colector dado al pegar un abrir $2$-manejar a lo largo de la unknot con el encuadre coeficiente de $2$, e $N$ $4$- colector dado al pegar un abrir $2$-manija de la unknot con el encuadre coeficiente de $1$. Por lo tanto $\bar M$ ($M$ con la orientación opuesta) es el $4$-colector dado por pegar un $2$-manejar con el encuadre $-2$ a el espejo de la unknot (que aún está en el unknot), y $\bar N$ está dado por pegar un $2$-manejar con el encuadre $-1$ el (espejo) de los unknot.

Ahora el unknot $K$ tiene un Legendrian la incrustación de con $tb(K)=-1$ (con el Legendrian proyección de la simple con sólo dos cúspides), por lo tanto, por Eliashberg la construcción de Stein colectores $\bar M$ admite un Stein de la estructura.

Ahora tenemos que mostrarle $N$ $\bar N$ no puede admitir una Stein estructura. Si tenemos un disco limitado por la fijación de unknot en $\Bbb R^3$ unión en el núcleo de la $2$-manejar obtener una incrustado $2$-esfera $\Sigma$$[\Sigma]^2= \pm1$. Por la contigüidad de la desigualdad de Stein superficies, tenemos $$[\Sigma]^2 + |\langle c_1,[\Sigma]\rangle |\leq2g(\Sigma)-2$$

En nuestro caso esto es sólo $\pm1+|\langle c_1,[\Sigma]\rangle | \leq -2$ lo cual es una contradicción. Así que ni $N$ ni $\bar N$ admite Stein estructuras.