Otras maneras de calcular el subgrupo de torsión de curvas elípticas

Question

Supongamos que tenemos una familia de curvas elípticas $E_{n}/\mathbb{Q}$. Me gustaría determinar el subgrupo de torsión de $E_{n}(\mathbb{Q})$ por $E_{n}(\mathbb{Q})_{\textrm{tors}}$. Dos formas de hacerlo son usando Nagell-Lutz y computar el número de puntos de $\mathbb{F}_{\ell}$ % varios $\ell$. ¿Hay otras maneras de determinar el subgrupo de torsión de una curva elíptica?

Answer 1

Las dos maneras que usted menciona, además de buscar su curva hacia arriba en una base de datos (como Matt E. sugiere), son los más prácticos y eficientes maneras en las que puedo pensar. Aquí hay dos maneras de hacer esto, uno práctico (pero no tan eficiente) y uno que no es práctico (creo):

• El uso de la división de polinomios. Si $E$ se define sobre$\mathbb{Q}$, $E(\mathbb{Q})$ sólo puede tener torsión puntos de la orden hasta ciertos límites. Si $P$ es un punto de primer orden, la orden es $2$, $3$, $5$, o $7$ (por Mazur del teorema). Usted puede encontrar la división de polinomios para cada uno de estos números primos, y ver si tienen raíces en $\mathbb{Q}$. Una raíz en $\mathbb{Q}$ le daría un racional $x$coordenadas de un punto de torsión de dicha orden. Usted también puede encontrar la división de polinomios de orden $p^n$. Si un punto de $P$ orden $p^n$, entonces el orden es en la mayoría de los $8$, $9$, $5$, o $7$, por lo que sólo necesitas encontrar el $8$th, $9$th, $5$th y $7$th división de polinomios, y el factor de aquellos, para encontrar todos los puntos de torsión en $E(\mathbb{Q})$.

• No es práctico, y conjetural: el Uso de Birch y Swinnerton-Dyer conjetura. BSD proporciona una conjetural fórmula para un determinado Taylor coeficiente de la $L$-de la serie de la curva elíptica en cuestión. El tamaño de la torsión de los subgrupos aparece en el denominador del coeficiente de... sin Embargo, este coeficiente es un número real. El periodo real $\Omega_E$ siempre puede ser calculado. Si se pudiera calcular el regulador $R_E$ de su curva elíptica (por ejemplo, si usted sabe, el rango se $0$,$R_E=1$), entonces se puede calcular el $\Omega_E\cdot R_E$, calcular el coeficiente de cómputo, dividir el resultado por $\Omega_E\cdot R_E$ y obtener un número racional cuyo denominador es el divisor de la plaza de el tamaño de la torsión de los subgrupos de $E$ (aviso de que puede haber algunos de cancelación con el numerador!). Esta información le permitirá encontrar los puntos de torsión en $E$ (véase el anterior punto).

Ejemplo (con división de polinomios): Vamos a $E$ ser la curva 53b3 en Cremona base de datos, con la ecuación de Weierstrass $$E: y^2 +xy+y= x^3-x^2-14x+29.$$ Primero, vamos a encontrar la división de polinomios:

• ($p=2$) La 2 ª división de polinomios, la definición de la $x$-coordenadas de $2$-torsión puntos, está dada por $4x^3 - 3x^2 - 54x + 117$. Este es irreductible, por lo que no hay $2$-torsión de los puntos definidos en $\mathbb{Q}$.

• ($p=3$) De la 3ª división de polinomio es $$3x^4 - 3x^3 - 81x^2 + 351x - 270,$$ y factores como $3(x - 1)(x^3 - 27x + 90)$. Por lo tanto, no es una cuestión de orden $3$ $x$- coordinar $1$. Al conectar en la ecuación de $E$, nos encontramos con que $(1,3)$ $(1,-5)$ son los puntos de la orden de $3$$E$. Ya que hemos encontrado un punto de orden $3$, tenemos que seguir adelante y buscar puntos de modulo $9$, $27$ (no puede suceder más de $\mathbb{Q}$), etc...

  • ( $9$ ) $9$ División de polinomio tiene grado $40$, por lo que no vamos a reproducir aquí. Sin embargo, tiene un montón de factores lineales en su factorización: $$(x - 9)(x - 3)(x - 1)(x + 3)\cdot (\text{higher order factors}).$$ Los puntos de con $x=1$ son de ningún interés para nosotros, ya que son los puntos de la orden de $3$. Las otras coordenadas $x=\pm 3$ $x=9$ corresponden a los puntos del orden exactamente 9, por lo que necesitamos comprobar si su $y$-coordenadas están en $\mathbb{Q}$. De hecho, ellos no se corresponden con los puntos de la orden de $9$, es decir, $$(3,1), (-3,7), (9,-29),(9,19),(-3,-5), (3,-5).$$ Observe, sin embargo, que el $(3,1)$ genera todos ellos. Pasamos a fin de $27$, ya que hemos encontrado puntos de la orden de $9$.

    • ($27$) El 27 de división de polinomio es de grado $364$, pero todos los lineales de los factores en su factorización de la que ya apareció en la 9ª división de polinomio, por lo que no hay puntos de orden $27$ (de nuevo, NO hay puntos de orden $27$ en curvas elípticas sobre $\mathbb{Q}$).

  • ($p=5$) De la 5ª división de polinomio es de grado $12$ e irreductible. Por lo tanto, no hay puntos de orden $5$.

  • ($p=7$) La 7ª división de polinomio es de grado $24$ e irreductible. Por lo tanto, no hay puntos de orden $7$.

Por lo tanto, $E(\mathbb{Q})_\text{tors} \cong \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$.

Ejemplo (con BSD y L-funciones): Vamos a $E$ ser la curva 53b3 en Cremona base de datos, con la ecuación de Weierstrass $$E: y^2 +xy+y= x^3-x^2-14x+29.$$ En primer lugar, realizamos una $2$-descenso en $E$, para calcular el $2$-Selmer grupo. Resulta ser trivial. Esto significa dos cosas: el rango es $0$, y Sha es trivial. En particular, el regulador es $R_E=1$. Además:

• El periodo real es de $\Omega_E=3.09156554910300755665231500284\cdots$
• El Tamagawa números se $c_2=9$ $c_3=3$ $p=2$ $3$ respectivamente.
• El valor de la L-función en $1$ puede ser calculado a ser $$L(E,1)\approx 1.03052184970100251888410500095\cdots$$ Si creemos BSD en este caso, entonces debemos tener: $$(\# E(\mathbb{Q})_\text{tors})^2 = \frac{\# \text{Sha} \cdot \Omega_E\cdot R_E\cdot \prod c_p}{L(E,1)} = \frac{1\cdot (3.09156554910300755665231500284\cdots)\cdot 1 \cdot 27}{1.03052184970100251888410500095\cdots} =81.000000000000000000000000000\cdots.$$

Así, desde la $(\# E(\mathbb{Q})_\text{tors})^2$ debe ser un número entero, debe ser $81$, e $\# E(\mathbb{Q})_\text{tors} = 9$. Desde $ E(\mathbb{Q})_\text{tors}$ es un grupo abelian, sólo hay dos opciones: $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$. Sin embargo, el primero es imposible, porque si $E[n]$ está definido sobre un campo $F$, $F$ debe contener la $n$th raíces de la unidad. Pero $\mathbb{Q}$ no contiene $\sqrt{-3}$. Por lo tanto, debe ser $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$.

Magma código Aquí es el Magma de código para todos los que me hicieron anteriormente:

E:=EllipticCurve("54b3");E;

DivisionPolynomial(E,2);

Factorización(DivisionPolynomial(E,2));

DivisionPolynomial(E,3);

Factorización(DivisionPolynomial(E,3));

IsPoint(E,1);

P:=E![1,3,1];

2*P; 3*P;

DivisionPolynomial(E,9);

Factorización(DivisionPolynomial(E,9));

IsPoint(E,3);

IsPoint(E,9);

P:=E![3,1,1];

P,2*, 3*, 4*, 5*, 6*, 7*, 8*, 9*P;

Grado(DivisionPolynomial(E,27));

// De La Factorización De(DivisionPolynomial(E,27));

DivisionPolynomial(E,5);

Factorización(DivisionPolynomial(E,5));

DivisionPolynomial(E,7);

Factorización(DivisionPolynomial(E,7));

TwoSelmerGroup(E);

RealPeriod(E);

TamagawaNumbers(E);

L:=LSeries(E);

Evaluar(L,1);

27*RealPeriod(E)/Evaluar(L,1);

Answer 2

Para realizar una curva de más de $\mathbb Q$, la manera más fácil es comprobar Cremona tablas (!), ya que es bastante improbable que la curva que tiene el conductor lo suficientemente grande como para no estar allí.

Lo siento por la descarada respuesta; aquí hay otro un poco más grave:

Yo creo que el uso de los métodos que se sugieren es bastante estándar; como Don Antonio menciona, Mazur del teorema también da una bastante buena absoluta límite superior.

Una alternativa a la realidad el trabajo de mod $\mathbb F_{\ell}$ varios $\ell$ es para calcular que modular formulario que se adjunta a $E$ (o en la práctica, mira en una tabla). Entonces es muy fácil buscar congruencias $a_{\ell} \equiv 1 + \ell mod p$ y, por tanto, al menos a determinar la posibilidad de primos que dividen a la orden de la torsión de los subgrupos.

En la final, si usted está usando una tabla, como he dicho antes esta tabla también es probable que sólo contienen una descripción precisa de la torsión de los subgrupos. Todavía, la idea de relacionar la estructura de la torsión congruencias entre la forma modular de $E$ an Eisenstein serie es importante. (E. g. es es el mecanismo básico en Mazur de la prueba de este teorema.)

Una cosa para recordar es que aunque la forma modular, o, equivalentemente, el número de $\mathbb F_{\ell}$ de los puntos, es un isogeny invariante, por lo que que incluso si computing $\mathbb F_{\ell}$-puntos sugiere una $p$-torsión punto, puede no ser en realidad un punto de la curva (pero supongo que habrá en algunos $p$-isogenous de la curva). (Puede ver un ejemplo en el isogeny clase de $X_0(11)$,$p = 5$.)