¿Es #% mayor #% o $202^{303}$?

Question

Encuentran sin uso de calculadora que de los dos números es el mayor $202^{303}$ o $303^{202}$.

Creo que tenemos que hacer esto con cálculo porque tengo esta pregunta desde mi libro de cálculo.

Intentado buscar en google y SE pero no requiere solución

Answer 1

$$\array{808 & \gt & 9 \\ 101 \cdot 2 ^ {3} \gt & 3 ^ {2} \\ 101 ^ {3} \cdot 2 ^ {3} \gt & 101 ^ {2} \cdot 3 ^ {2} \\ \left((101\cdot 2) ^ {3} \right) ^ {101} \gt & \left((101\cdot 3) ^ {2} \right) ^ {101} \\ 202 ^ {303} \gt & 303 ^ {202}}$$

Answer 2

Tenemos $a^b<b^a$ iff $b\log(a)<a\log(b)$iff $\frac{\log(a)}a<\frac{\log(b)}b$. Considere la función: $$f:x\mapsto\frac{\log(x)}x:\mathbb R^+\to\mathbb R$ $ entonces:$$ f'(x)=\frac{1-\log(x)}{x^2} $$Hence$$ f'(x)>0\quad\mathrm{iff}\quad x<e$$ Hence $f$ is decreasing for $x > e$ and this proves $f(303) < f 202$, hence $303 ^ {202} < 202 ^ {303}$.

Answer 3

Estamos comparando $202^{303}$ y $303^{202}$.

es igual a $202^{303}$ $202^{202}$ * $202^{101}$.

es igual a $303^{202}$ que es igual a $(202 * 1.5)^{202}$ $202^{202}$ * $1.5^{202}$

Ahora, podemos dividir el $202^{202}$ de ambos lados que produce $202^{101}$ $1.5^{202}$. $1.5^{202}$ puede ser escrito como $2.25^{101}$ (cuadratura del interior, así dividiendo al exponente 2). Since $202^{101}$ > $2.25^{101}$, $202^{303}$ > $303^{202}$. ¡Sin necesidad de cálculo!

Answer 4

$\frac {202^{303}}{303^{202}}=\frac{2^{303}}{3^{202}}\frac{101^{303}}{101^{202}}=\frac{2}{3}^{202}*2^{101}*101^{101} = (4/3)^{202} \frac 12^{202}*2^{101}*101^{101} = (4/3)^{202}\frac 12^{101}*101^{101} = (4/3)^{202}*50.5^{101} > 1$

Así $\frac {202^{303}}{303^{202}} > 1$ (por un lote)

Así $202^{303} > 303^{202}$

Answer 5

Sugerencia: La función $x \mapsto x^{1/x}$ tiene un único punto crítico en $x=e$ y disminuye $x \gt e$.