¿Cómo encontrar este límite: $A=\lim_{n\to \infty}\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{3}+\cdots+\sqrt{\frac{1}{n}}}}}$

Question

Pregunta:

Mostrar que $$A=\lim_{n\to \infty}\sqrt{1+\sqrt{\dfrac{1}{2}+\sqrt{\dfrac{1}{3}+\cdots+\sqrt{\dfrac{1}{n}}}}}$$ existe, y encontrar la mejor estimación límite de $A$.

Es fácil mostrar que

$$\sqrt{1+\sqrt{\dfrac{1}{2}+\sqrt{\dfrac{1}{3}+\cdots+\sqrt{\dfrac{1}{n}}}}}\le\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots+\sqrt{1}}}}$$ y es bien sabido que este límite $$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots+\sqrt{1}}}}$$ existe.

Así $$A=\lim_{n\to \infty}\sqrt{1+\sqrt{\dfrac{1}{2}+\sqrt{\dfrac{1}{3}+\cdots+\sqrt{\dfrac{1}{n}}}}}$$

Pero puede utilizar algunos métodos de matemáticas para encontrar una aproximación a esta $A$ a mano?

y supongo que tal vez esto es cierto: $$1<A\le (\pi)^{\frac{1}{e}}?$$

Por cierto: podemos probar $A$ es un trascendental número?

Muchas gracias!

Answer 1

La naturaleza y la forma cerrada de la expresión de estos dos relacionadas con las constantes, es decir, el Anidada Radical Constante y Somos del Cuadrática Recurrencia Constante, son (también) desconocido. Esto sugeriría que lo mismo es cierto para este así, lo que significa que estamos tratando con una pregunta abierta.

Tan lejos como numérico aproximaciones se refiere, $\displaystyle{A\simeq\frac{(\pi+1)\ln4}{1+\ln16}}$ viene cerca, dentro de un error de menos de $10^{-8}$.

Answer 2

La principal razón de esta respuesta es que es imposible exprimir el contenido abajo en un comentario. Descargo de responsabilidad: es sólo una respuesta parcial a la pregunta formulada. Y no es la manera mejor que el (TRABAJO final) comentario por Achille Hui.

Deje que la función de $A(n)$ ser definido por: $$ A(n) = \sqrt{1+\sqrt{\dfrac{1}{2}+\sqrt{\dfrac{1}{3}+\cdots+\sqrt{\dfrac{1}{n}}}}} $$ Computación numérica de la secuencia, por ejemplo, en Pascal es bastante simple:

la función A(N : integer) : doble;
var 
 w : doble;
 k : integer;
comenzar
 w := 0;
 para k := N downto 1 do
 w := sqrt(1/k + w);
 A := w;
end;

Pero lo extraño de esto es que es una especie de mal dirigido iteración. En su lugar de ir de $A_1$ $A_n$va de $A_{n+1}$ hacia$A_1$: $$ A_{n+1} = 0 \quad ; \quad A_k = \sqrt{\frac{1}{k} + A_{k+1}} \quad ; \quad 1 \le k \le n $$ Se llama Recursión hacia Atrás de acuerdo a la internet (que nunca he visto antes). Así que la pregunta es, sorprendentemente, para encontrar $A$ como: $$ A = \lim_{n\to \infty} A_1(n) \qquad \mbox{lugar} \qquad A = \lim_{n\to \infty} A_n $$ El resultado numérico es, por supuesto, de acuerdo con Achille, mucho menos precisa a pesar de (¿qué se puede esperar de doble precisión de Pascal).