Encontrar $f:\mathbb R\to\mathbb R$ tal que $f(x)=f'(x)$.

Question

Encontrar $f:\mathbb R\to\mathbb R$ tal que $f(x)=f'(x)$.

Sé que $f(x)$ $e^x$, pero ¿cómo resolver esto matemáticamente se puede? ¿Existe alguna otra solución? Gracias.

Answer 1

Que $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f'(x)=f(x)$ % todos $x \in \mathbb{R}$. Conjunto de $g(x)=f(x)e^{-x}$. Entonces $g'(x)=0$, por lo tanto, $f(x)=C \cdot e^{x}$ $C \in \mathbb{R}$.

Answer 2

Integrando $f'/f$, puede llegar a la solución de $f(x) = Ce^x$. Ahora si usted quiere demostrar que es la única solución, mi sugerencia es la siguiente:

Sugerencia: Dejar $f$ ser tal función y que $g(x) = f(x)e^{-x}$. Calcular $g'(x)$. ¿Puede ahora probar el resultado?

Answer 3

Simple ecuación diferencial elemental. Poner $\,y=f(x)\,$, entonces::

$$f'(x)=f(x)\iff \frac{dy}{dx}=y\implies \int\frac{dy}{y}=\int dx\implies$$

$$\implies \log y=x+c\implies y=e^{x+c}=Ke^x\;,\;\;K:=e^c=\text{ a constant}$$