¿Cuál es la forma más útil/intuitiva de definir $\Bbb{C}$, el sistema complejo?

Question

¿Me preguntaba si hay una forma más común o 'mejor' para definir/pensar sobre el conjunto de todos números complejos en análisis complejo? La primera manera que puedo pensar es:

$\Bbb{C} \triangleq \Bbb{R} \times \Bbb{I} = \{(a,b) \mid a\in\Bbb{R}, b\in\Bbb{I}\}$

O es más útil, por el camino, pensar en $\Bbb{C}$ como el conjunto de todas las sumas vectoriales:

$\Bbb{C} \triangleq \{\vec{a}+\vec{b} \mid \vec{a}\in\Bbb{R}^1, \vec{b}\in\Bbb{I}^1\}$

y sólo recordar que no se puede Agregar vectores de miembros/1-D $\Bbb{R}$ a vectores de miembros/1-D de $\Bbb{I}$.

Supongo que otra pregunta sería ¿cómo piensan ustedes acerca de ellos?

Answer 1

Para mí la manera más fácil, sencilla de ver, al principio al menos, los números complejos es la identificación de $\;\Bbb C\sim\Bbb R^2\;$ y definición aquí la adición complejo conocido y la multiplicación de los pares:

$$(a,b)+(c,d):=(a+c, b+d)\;,\;\;(a,b)(c,d):=(ac-bd,ad+bc)$$

Answer 2

Yo diría que la forma más natural desde un punto de vista algebraico es a como una extensión de campo de $\mathbb{C}$ $\mathbb{R}$. Es $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}[X]/(X^2+1)$. Este expresa más claramente que $\mathbb{C}$ se obtiene del $\mathbb{R}$ junto a una raíz cuadrada de $-1$.

Sin embargo creo que este es la forma más natural requieren conocimientos de extensiones de campo y es un poco menos explícita que las otras respuestas.

Answer 3

Para poner mi 2c, creo que no hay un único "mejor" manera de pensar acerca de los números complejos (y creo que esto aplica para el pensamiento en general). Diferentes situaciones de la demanda de los diferentes enfoques, y ser capaz de tomar "atajos" por el paso de una forma de pensar acerca de la $\mathbb{C}$ a otro, realmente pueden ayudar a ver las cosas de manera intuitiva. La polar y cartesiana formas son las dos formas más utilizadas para buscar en ellos. Por otra parte, conocer los diferentes puntos de vista puede mejorar su comprensión de las ideas básicas de los números complejos (recuerde que cualquier forma de pensar acerca de ellos es simplemente una representación de estos crudos ideas).

Aquí están algunas maneras que yo pienso acerca de $\mathbb{C}$:

En más problemas geométricos, creo que de adición como de la traducción, y de la multiplicación como de rotación seguida de una escala ('rotación homothety'). Así, por ejemplo, supongamos que tiene un triángulo $ABC$ y de construir triángulos equiláteros fuera de ella en sus lados, de modo que usted termina con triángulos equiláteros con centros de $X,Y,Z$. Es un problema clásico (Napoleón del teorema) para mostrar que $XYZ$ es equilátero. Usted puede expresar equilátero-dad de un triángulo $KLM$ mediante el uso de números complejos: si coloca el triángulo en cualquier lugar en el plano complejo, de modo que $K,L,M$ corresponden a los números complejos $k,l,m$ entonces, asumiendo $KLM$ es orientador en sentido antihorario, es equilátero iff $$ e^{i\pi/3}(l-k) = m-k $$ Usted puede utilizar esa caracterización (junto con el hecho de que el centro de un triángulo es el promedio de sus vértices) para deducir el problema anterior, pasando a la declaración equivalente acerca de los números complejos por lo que es fácil de cálculo (un buen ejercicio).

En algunos algebraica de problemas, a menudo es útil pensar en los números complejos como el de la realización de algunas constructivo/desructive interferencia de periódico cosas (la analogía es tomado de la física, pero hay una manera de que podamos hacer que la información sea correcta: pensar en el (discreta) de la transformada de Fourier, escribí un poco sobre esto aquí: http://amakelov.github.io/2016/01/28/Fourier-analysis-on-finite-abelian-groups.html). Así, por ejemplo, si quiero calcular $$S_0= \sum_{k=0}^{n/3}{n\choose 3k}$$ Tengo la intuición de que pueda utilizar los números complejos para de alguna manera a escoger este periódico secuencia (la progresión aritmética de números divisibles por 3) de la más grande cosa que sé, se $S=2^n$, la suma de todos los coeficientes binomiales. Al igual que hemos considerado la expansión $$ (1+x)^n = \sum_{i=0}^n {n\choose i}x^i$$ para encontrar $S$, se puede conectar $x=\omega,\omega^2$ $\omega$ un tercio de la raíz de la unidad y de jugar para obtener el resultado (probar).

He aquí una tercera forma de pensar que yo uso cuando la gente empieza a alucinar sobre esta $\sqrt{-1}$ negocios no ser real. Se puede interpretar números complejos como $2\times 2$ matrices, donde $a+bi$ corresponde a la matriz $$ \begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}$$ Usted puede seguir adelante y comprobar que todo funciona como antes en esta nueva representación. La misteriosa raíz cuadrada de $-1$ es ahora la matriz $$ \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ que pronto cuadrados a menos de la matriz de identidad. ¿Por qué no hacerlo todo de esa manera? Es mucho más conveniente pensar en los números complejos como único cosas obedecer estas reglas especiales, y seguramente mucho más rápido para escribir. Pero creo que la comodidad no es la única respuesta; pensando en algo como un número sólo le permite a su cerebro para hacer muchas cosas útiles con ella.

Answer 4

"Me preguntaba si hay un más comunes o "mejor" manera de definir/pensar el conjunto de todos los números complejos en el análisis complejo." No hay realmente. En diferentes momentos se dibuja sobre diferentes aspectos de la $\mathbb{C}$. A veces se puede analizar como un espacio vectorial. A veces te veo como un algebraicamente cerrado de campo. Otras veces será un álgebra. Más tarde pueden ser lineales similitud transformaciones en $\mathbb{R}^{2}$. Tal vez van a ser expresiones polares en el plano (es decir, $z = r e^{i \theta}$ donde $r \geq 0, \theta \in [0, 2 \pi)$).