$x,y$ dependen linealmente si $|\langle x,y\rangle|=\|x\| \cdot \|y\|$

Question

Intenté demostrar un caso especial de Cauchy-Schwarz:

$$x,y \text{ are linearly depending vectors} \Leftrightarrow |\langle x,y\rangle|=||x|| \cdot ||y||$$

$\Rightarrow$ es simple: \begin{eqnarray*} x= \lambda y \Leftrightarrow (x_1,\ldots,x_n)&=&(\lambda x_1,\ldots,\lambda x_n),\\ |\langle x,y\rangle|=||x|| \cdot ||y|| &\Leftrightarrow& |\langle x,\lambda x\rangle|=||x|| \cdot ||\lambda x|| \\ & \Leftrightarrow& |x_1 \lambda x_1+\ldots +x_n \lambda x_n|=\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2} \cdot \sqrt{(\lambda x_1)^2+\ldots+(\lambda x_n)^2}\\ &\Leftrightarrow& |\lambda x_1^2+\ldots+\lambda x_n^2|= \sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2} \cdot \sqrt{\lambda^2(x_1^2+\ldots+x_n^2}\\ &\Leftrightarrow& |\lambda| \cdot |x_1^2+\ldots+x_n^2|=|\lambda| \cdot \sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}^2\\ &\Leftrightarrow& |\lambda| \cdot |x_1^2+\ldots+x_n^2|=|\lambda| \cdot |x_1^2+\ldots+x_n^2| \end{eqnarray*}

Ahora no tengo ni idea de cómo probar $\Leftarrow$ . ¿Alguien tiene una idea?

Answer 1

La tuya es correcta, pero no necesitas usar coordenadas para esta prueba: sólo la definición de la norma $||x||$ como $\sqrt{\langle x,x \rangle}$ y las propiedades bilineales del producto punto.

Por ejemplo, si $y = \lambda x$ Entonces, por un lado,

$$ |\langle x, y \rangle| = |\langle x, \lambda x \rangle| =|\lambda \cdot \langle x, x \rangle| = |\lambda |\cdot || x||^2 \ . $$

Por otro lado,

$$ ||x||\cdot ||y|| =||x||\cdot ||\lambda x|| = |\lambda | \cdot ||x||^2 $$

también.

La otra implicación tampoco necesita coordenadas: si $y \neq \lambda x$ entonces

$$ y - \lambda x \neq 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad ||y - \lambda x|| \neq 0 \ . $$

Que es lo mismo que

$$ \ 0 <||y - \lambda x||^2 = \langle y-\lambda x , y - \lambda x\rangle = || y ||^2 -2\lambda \langle x, y\rangle + \lambda^2 ||x||^2 \ . $$

Ahora bien, si se considera esta última expresión como un polinomio en $\lambda$ , acabas de demostrar que

$$ P(\lambda ) = || y ||^2 -2\lambda \langle x, y\rangle + \lambda^2 ||x||^2 > 0 \qquad \text{for all} \quad \lambda \ . $$

Por lo tanto, este polinomio no tiene raíces. Así que su discriminante debe ser negativo:

$$ 4\langle x, y\rangle^2 - 4 ||y||^2||x||^2 < 0 \ . $$

En particular,

$$ |\langle x, y \rangle | \neq ||x||\cdot||y|| \ . $$

Answer 2

Supongamos que $\lambda y-x\neq0$ para todos $\lambda\in\mathbb R$ . así que $$0<|\lambda y-x|^2=\sum_{i=1}^n(\lambda y_i-x_i)^2=\lambda^2\sum_{i=1}^ny_i^2-2\lambda\sum_{i=1}^n x_iy_i+\sum_{i=1}^n x_i^2$$ Por lo tanto, el lado derecho es una ecuación cuadrática en $\lambda$ sin solución real, y su discriminante debe ser negativo. Así, $$4\left(\sum_{i=1}^n x_iy_i\right)^2-4\left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^ny_i^2\right)<0.$$