Cómo encontrar esta suma $\sum_{k=1}^{n}\frac{(a_{k}+1)(b_{k}+1)}{a_{k}+b_{k}+3}$

Question

que secuencia $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$ tal $$a_{1}=2,b_{1}=1$ $ y $$a_{n+1}=\dfrac{a_{n}+1}{a_{n}+b_{n}+3},b_{n+1}=\dfrac{b_{n}+1}{a_{n}+b_{n}+3}$ $

encontrar el %#% $ #%

mi idea: desde $$\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(a_{k}+1)(b_{k}+1)}{a_{k}+b_{k}+3}$ $ $$a_{n+1}+b_{n+1}=\dfrac{a_{n}+b_{n}+2}{a_{n}+b_{n}+3}$ $

tal vez podemos constatar este %#% $ #%

entonces no, gracias

Answer 1

Introducir secuencias de $A_n, B_n, C_n$, cuya escala general a ser determinado, de tal manera que $a_n = A_n/C_n$, $b_n = B_n/C_n$. Podemos reescribir nuestra ecuaciones como

$$ \requieren{cancel} \begin{cases} a_{n+1} &= \frac{a_n+1}{a_n+b_n+3}\\ b_{n+1} &= \frac{b_n+1}{a_n+b_n+3} \end{casos} \quad\ffi\quad \begin{pmatrix}A\\B\\C\end{pmatrix}_{n+1} = \color{red}{\cancelto{1}{\color{gris claro}{\frac{C_{n+1}}{A_n+B_n+3C_n}}}} \begin{pmatrix}1&0&1 \\ 0&1&1 \\ 1&1&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\\C\end{pmatrix}_{n} $$ Si elegimos la escala para hacer $C_{n+1} = A_n+B_n+3C_n$ e imponer la condición inicial $(A_1,B_1,C_1) = (2,1,1)$ sobre ellos, el correspondiente $a_n = A_n/C_n$ $b_n = B_n/C_n$ va a resolver el problema original.

Deje $M$ $3\times 3$ matriz aparecen arriba. Es fácil de comprobar $$ M\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} \quad\text{ y }\quad M\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ \rho\end{pmatrix} = (1+\rho) \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ \rho\end{pmatrix} \quad\text{ para }\rho = 1\pm \sqrt{3}. $$ Vamos $\alpha = 1+\sqrt{3}$, $\beta = 1-\sqrt{3}$, podemos expresar el vector inicial como $$ \begin{pmatrix} A \\ B \\ C\end{pmatrix}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} + \frac{3+\alpha}{2\sqrt{3}\alfa} \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ \alpha\end{pmatrix} - \frac{3+\beta}{2\sqrt{3}\beta} \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ \beta\end{pmatrix} $$ Aviso $\alpha^2 = 2(1+\alpha)$, $\beta^2 = 2(1+\beta)$, nos encontramos

$$ \begin{pmatrix} A \\ B \\ C\end{pmatrix}_{n+1} = \frac12\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} + \frac{1}{2^{n+1}\sqrt{3}}\left\{ (3+\alpha)\alpha^{2n-1} \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ \alpha\end{pmatrix} - (3+\beta)\beta^{2n-1} \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ \beta\end{pmatrix} \right\} $$ De estos, encontramos los términos queremos suma puede ser transformado como

$$\begin{align} \frac{(a_n+1)(b_n+1)}{a_n+b_n+3} = & \frac{A_{n+1}B_{n+1}}{C_{n+1}C_n}\\ = & \frac{\left((3+\alpha)\alpha^{2n-1} - (3+\beta)\beta^{2n-1}\right)^2 - 3\cdot 4^n}{ 2\left((3+\alpha)\alpha^{2n} - (3+\beta)\beta^{2n}\right) \left((3+\alpha)\alpha^{2n-2} - (3+\beta)\beta^{2n-2}\right) } \end{align} $$ Vamos $\lambda = \frac{\beta}{\alpha}$, $\mu = \frac{3+\beta}{3+\alpha}$ y aviso a $\alpha\beta = -2$, se puede simplificar por encima de desastre como $$\begin{align} \frac{\left(1 -\mu\lambda^{2n-1}\right)^2 + \frac{6}{(3+\alpha)^2}\lambda^{2n-1}} {2\left(1 -\mu\lambda^{2n}\right)\left(1 -\mu\lambda^{2n-2}\right)} = & \frac12 + \frac{\Delta \lambda^{2n-1}}{(1 -\mu\lambda^{2n})(1 -\mu\lambda^{2n-2})}\\ = & \frac12 + \Delta' \left\{\frac{1}{1 -\mu\lambda^{2n}} - \frac{1}{1 -\mu\lambda^{2n-2}}\right\} \end{align}$$ donde $$2\Delta = \mu(\lambda+\lambda^{-1}-2) + \frac{6}{(3+\alpha)^2} \quad\text{ y }\quad \Delta' = \frac{\Delta}{\mu(\lambda\lambda^{-1})} = -\frac{6\sqrt{3}}{13}.$$ Por tanto, tenemos $$\begin{align} \sum_{k=1}^n\frac{(a_k+1)(b_k+1)}{a_k+b_k+3} = & \frac{n}{2} + \frac{6\sqrt{3}}{13}\left(\frac{1}{1-\mu}-\frac{1}{1-\mu\lambda^{2n}}\right)\\ = & \frac{n}{2} + \frac{6\sqrt{3}}{13}\left(\frac{1}{1-\frac{4-\sqrt{3}}{4+\sqrt{3}}}-\frac{1}{1-\frac{4-\sqrt{3}}{4+\sqrt{3}}(2-\sqrt{3})^{2n}}\right)\\ = & \frac{n}{2} + \frac{3}{4+\sqrt{3}}\left( 1 - \frac{2\sqrt{3}}{(4+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^{2n} - (4-\sqrt{3})}\right) \end{align}$$