¿Cómo puedo obtener esta división ' límite s sin usar derivados?

Question

¿% $ $$\lim_{y\to 0} \frac{y}{\cos\left(\frac{\pi}{2}(1+y)\right)}$Alguien puede ayudarme? Puedo usar las propiedades básicas de los límites y algunos de esos límites básicos conocidos. Sé que sería más fácil con los derivados, pero me preguntaba si es posible sin la regla de L Hospital, derivados, serie de Taylor.

¡Gracias de antemano!

Mis ideas por ahora: cambiando coseno a seno. Tal vez eso. No tengo ninguna otra pista.

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\cos\left(\dfrac\pi2+A\right)=-\sin A$$

y $$\lim_{h\to0}\dfrac{\sin h}h=\text{ ?}$ $

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ \lim_{y\to 0}\frac{y}{\cos\left(\frac{\pi}{2}(1+y)\right)} = \lim_{y\to 0} \frac {y} {\cos\left (\frac {\pi} {2} + \frac {\pi y} {2} \right)} = \lim_{y\to 0} \frac {y} {-\sin\left (\frac {\pi y} {2} \right)} \\ = - \frac{2}{\pi}\lim_{y\to 0} \frac {\left (\frac {\pi y} {2} \right)} {\sin\left (\frac {\pi y} {2} \right)} =-\frac{2}{\pi}(1) = - \frac{2}{\pi}$$