¿Converge la integral $\int_{1}^{\infty} \sin(x\log x) \,\mathrm{d}x$?

Question

He probado un par de sustituciones pero hasta ahora nada han conseguido. ¿Alguien puede orientarme en la dirección correcta? Gracias por su tiempo.

Answer 1

Depende de a qué nos referimos al decir que la integral converge. En algunos contextos (normalmente un análisis básico de los cursos), podríamos decir que $$\exists\lim_{R\to\infty}\int_0^R \sin(x\log x)dx.$$ Bajo esta interpretación, la respuesta es sí. Denotar $x\mapsto x\log x$$\phi$. A continuación, $\phi$ es un aumento de la diffeomeomorphism $[1,\infty]\to[0,\infty]$. Si dejamos $x_n=\phi^{-1}(\pi n)$, $I_n = \int_{x_n}^{x_{n+1}}\sin\phi(x)dx$ son signo-la alternancia y la disminución a cero en su valor absoluto, lo que implica que $\sum_{n\in\Bbb N}I_n$ converge (por lo tanto, el límite anterior existe y euqals el valor de la serie; ¿por qué?)

Sin embargo, $x\mapsto\sin(x\log x)$ no es absolutamente integrable (comparar con la anterior construcción a uno similar para $x\mapsto\sin(x^2)$), lo que implica que $\int_1^\infty\sin(x\log x)dx$ también no existe en el sentido de las particiones de la unidad.

Answer 2

Un truco que funciona a menudo en tales oscilatorio condicionalmente convergente integrales. El cambio de las variables de $y=x\log x$ $$ \int_1^\infty \sin(x\log x)\,dx = \int_0^\infty \frac{\pecado y}{W(y)+1}\,dy $$ Aquí $W$ es la función W de Lambert.

Integrar por partes $$ \int_0^\infty \frac{\pecado y}{W(y)+1}\,dy= 1-\int_0^\infty \frac{W(y)\cos y}{(W(y)+1)^3y}\,dy $$ Pero esta integral es absolutamente convergente. De hecho, $$ \varphi(y) := \frac{W(s)}{(W(y)+1)^3y} > 0\qquad\text{y}\qquad \int_0^\infty \frac{W(s)}{(W(y)+1)^3y}\,dy = 1. $$ Esto es todavía apenas convergente, aunque: $\varphi(y) \sim 1/(y\log(y)^2)$$y \to \infty$.

agregó Hacer la sustitución.

$y = x \log x$, resolver por $x$: $$ y = x\log x \\ y = (\log x) e^{(\log x)} \\ W(y) = \log x \\ e^{W(s)} = x $$

Para la derivada $$ y = x\log x \\ dy = \big(\log x + 1\big)\,dx \\ \frac{dy}{W(y)+1} = dx $$

Para los límites de integración: $$ x=1 \quad\Longrightarrow\quad y = x\log x = 0 \\ x \to \infty \quad \Longrightarrow \quad y = x \log x \to \infty $$ También: $x\log x$ es el aumento en el $[1,\infty)$ desde su derivada es $\log x + 1$.

Por lo tanto $$ \int_1^\infty \sin(x\log x)\,dx = \int_0^\infty \frac{\pecado y}{W(y)+1}\,dy $$