Vakil ' s fundaciones de la geometría algebraica, ejercicios 7.3.F

Question

$\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}$ Estoy teniendo problemas con el ejercicio en el título, que los estados

"Supongamos $Z$ es un subconjunto cerrado de un esquema afín $\Spec A $ locales cortadas por una ecuación. (En otras palabras, $\Spec A$ pueden ser cubiertos por los más pequeños bloques abiertos, y en cada uno de esos conjunto Z se corta por una ecuación.) Mostrar que la complementan $Y$ $Z$ es afín."

El comentario anterior el ejercicio es "afín a la localidad de afín morfismos ha algunos no evidentes consecuencias, como se muestra en el siguiente ejercicio.". Esto me permite pensar que se supone que debo usar el hecho de que la Especificación de Un afín implica que

$$\Spec A \to \Spec \mathbb{Z}$$

es afín, pero no puedo ver cómo esto se supone que debe resultar de la instrucción. Puedo ver que si $Z$ es definido de esta manera puedo encontrar la cubierta de $U_i$ $ \Spec A$ donde en cada $U_i \cap Z = V(f_i)$ por cada $i$ pero no puedo encontrar una manera de avanzar desde allí.

Una sugerencia sería muy apreciada. Gracias.

Edit: Si no me equivoco debe seguir, obviamente, desde el lema demostrado aquí http://stacks.math.columbia.edu/tag/07ZT

Edit: Corregido error tipográfico $D(f_i) \to V(f_i)$

Answer 1

Creo que no es el de morfismos $\operatorname{Spec}(A)\rightarrow \operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ que debería ser considerado, sino la inclusión $\iota: U \rightarrow \operatorname{Spec}(A)$ donde $U$ es el complemento de a $Z$. Utilizando el resultado de que una de morfismos ser afín es una afín a la propiedad local, esperamos encontrar un afín abra la cubierta $V_i$ $\operatorname{Spec}(A)$ donde $U$ se cruzan cada afín a abrir la pieza (es decir,$\iota^{-1}(V_i)$) es también afín, que luego nos dicen que $U = \iota^{-1}(\operatorname{Spec}(A)$ es también afín.

La hipótesis dice que podemos cubrir $\operatorname{Spec}(A)$ por abrir subschemes $V_i$, de tal manera que $Z\cap V_i$ a nivel local es cortar por algún elemento de $\mathcal{O}_X(V_i)$. Cubriendo cada una de las $V_i$ afín con las piezas si es necesario y teniendo en cuenta la restricción de que cada elemento de la $\mathcal{O}_X(V_i)$, por consiguiente, se puede suponer que el $V_i$ son afín a abrir los subconjuntos de a $\operatorname{Spec}(A)$, decir $V_i \cong \operatorname{Spec}(A_i)$, e $Z\cap V_i = V(f_i)$ algunos $f_i \in A_i$. En particular, la inclusión $U \cap V_i$ es sólo la inclusión de los distinguidos afín a abrir subconjunto $D(f_i)$, y así es afín, como se desee.