Pruebalo $ f(\xi)=f'(\xi)\int_{0}^{\xi}{f(x)dx} $

Question

Que $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ es una función diferenciable con derivada continua tal que %#% $ de #% cómo podemos demostrar que allí existe $$ \int_{0}^{1}{f(x)dx}=\int_{0}^{1}{xf(x)dx} $ tal que % $ $\xi\in(0,1)$

Intenté utilizar $$ f(\xi)=f'(\xi)\int_{0}^{\xi}{f(x)dx} $ $ entonces la condición da $$ F(x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt} $ $ y tengo que demostrar existe $$ \int_{0}^{1}{F(x)dx}=0 $ que $\xi\in(0,1)$ $ estaba atrapado aquí.

Answer 1

Tenga en cuenta que $F(0) = 0$.

Considerar la función $G(x) = e^{-F'(x)} F(x)$, $G'(x) = e^{-F'}(F'-F''F)$, así $x=0$ es un cero $G$, entonces

1. $F(x)=0$ $x$ todos, entonces se realiza.
2. De lo contrario, hay $x_1,x_2$, que $F(x_1)>0$, $F(x_2)<0$. $G(x_1)>0$, $G(x_2)<0$, Entonces por Teorema de Roll (ya que tenemos otro cero en $x=0$) tenemos existe un $\xi$ tal que $G'(\xi) = 0$.

Hecho.