¿Cuál es el mayor volumen posible de un taco, y cómo hago uno tan grande?

Question

Deje que $f$ ser una función continua, incluso positiva, durante algún intervalo $I=[-a,a]$ de tal manera que la longitud total del arco de $f$ sobre $I$ es por lo menos $2$ , $f(0)=0$ y $f$ está aumentando en $(0,a)$ . Vea el gráfico de $z=f(x)$ como una superficie en $ \mathbb {R}^3$ (así que, paralelamente a la $y$ -eje).

Modelar una tortilla de maíz (o pan de pita si lo prefieres) como un disco flexible de radio $1$ coloca su centro en el origen, y envuelve la tortilla contra la superficie $z=f(x)$ .

En este punto, tenemos algo como una cáscara de taco. Ahora toma su casco convexo y considera su volumen $V$ .

$ \mathbb {QUESTION \colon }$ ¿Podemos determinar cómo maximizar $V$ con respecto a todas esas funciones $f$ ? Porque, ya sabes, quiero que mi taco sea el más grande.

Los candidatos elementales para $f$ incluyen una función de semicírculo, una parábola, una función de valor absoluto, una onda coseno, etc. Pero si hay una respuesta única, podría no ser una curva elemental en absoluto.

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Editar: Esto probablemente no debería haber sido preguntado en términos de una función $f$ . Tal vez el taco más grande tiene regiones donde la cáscara se dobla verticalmente, y ya no tenemos el gráfico de una función continua con la que trabajar. Si lo prefieres, considera las curvas parametrizadas por la longitud del arco $$ \left (X(t),0,Z(t) \right ):[0,1] \to xz \mbox {-plane}$$ con $X(0)=Z(0)=0$ y $X$ y $Z$ (no necesariamente de forma estricta) en aumento. (Y por supuesto, luego reflejar esa curva a través de la $yz$ -avión y cruzarlo con el $y$ -para conseguir toda la superficie.)

Answer 1

Aquí está su taco óptimo (con relleno vegetariano):

Lo llamaría una curva de Jordania, pero desafortunadamente ese nombre ya está tomado, así que, ¿qué tal "tacoide"?

De manera bastante apropiada, podemos calcular el volumen del taco usando algo similar a la método de las conchas . Deje que $s$ ser el parámetro de la longitud del arco a lo largo de la curva, y considerar la parte del volumen del taco entre los dos elementos de la superficie que corresponden a un elemento de la longitud del arco $ \mathrm ds$ . La distancia entre ellos a lo largo de la $x$ El eje es $2x$ su longitud a lo largo de la $y$ El eje es $ \sqrt {1-s^2}$ y su altura a lo largo de la $z$ El eje es $ \mathrm dz= \dot z \mathrm ds$ donde aquí y en el siguiente un punto denota la diferenciación con respecto a la longitud del arco.

Por lo tanto, el volumen de los tacos es

$$V= \int_0 ^12 \sqrt {1-s^2}x \dot z \mathrm ds\;.$$

Podemos eliminar $ \dot z$ de $ \dot x^2+ \dot z^2=1$ que da $ \dot x= \sqrt {1- \dot z^2}$ y así

$$V= \int_0 ^12 \sqrt {1-s^2}x \sqrt {1- \dot x^2} \mathrm ds=: \int_0 ^1 \mathcal L(s,x, \dot x) \mathrm ds\;.$$

Podemos maximizar esto usando el cálculo de las variaciones. La ecuación de Euler-Lagrange es

$$ \frac { \mathrm d}{ \mathrm ds} \frac { \partial\mathcal L}{ \partial \dot x}= \frac { \partial\mathcal L}{ \partial x}\;,$$

que da lugar a

$$ \frac { \mathrm d}{ \mathrm ds} \left (- \sqrt {1-s^2}x \frac { \dot x}{ \sqrt {1- \dot x^2}} \right )= \sqrt {1-s^2} \sqrt {1- \dot x^2}\;,$$

que podemos simplificar para

$$x \ddot x+1- \dot x^2=x \dot x(1- \dot x^2) \frac {s}{1-s^2}\;.$$

Tengan en cuenta que el lado izquierdo es lo que normalmente obtendríamos por un círculo si no tuviéramos el factor $ \sqrt {1-s^2}$ de la forma del taco; un taco rectangular no tendría este término y por lo tanto tomaría la forma de un semi-cilindro, como señaló Will.

Ninguno de los candidatos resuelve esta ecuación; dudo que pueda ser resuelta analíticamente. La resolví numéricamente usando RK4 . Esto fue un poco difícil porque hay singularidades tanto en $x=0$ (tangente horizontal) y en $s=1$ (tangente vertical).

Ya que tenemos una condición inicial en $s=0$ y un valor de parámetro de longitud de arco fijo para el punto final, $s=1$ nos gustaría integrar la ecuación de $s=0$ hacia $s=1$ entonces podríamos variar la condición inicial restante para obtener el volumen óptimo. Sin embargo, el problema es que la singularidad en $x=0$ obliga a la tangente a ser horizontal allí, por lo que no podemos especificar libremente una primera derivada allí.

La situación en $x=0$ donde $s=0$ es básicamente lo mismo que para el semicírculo que obtenemos sin el $ \sqrt {1-s^2}$ término, así que podemos tratar de obtener alguna orientación desde allí. La solución en ese caso es

$$ \begin {array}{ccccc} x=r \sin\frac sr&& \dot x= \cos\frac sr&& \ddot x=- \frac1r\sin\frac sr \\ z=r(1- \cos\frac sr)&& \dot z= \sin\frac sr&& \ddot z= \frac1r\cos\frac sr \\ \end {array} $$

con un parámetro libre $r$ el radio del semicírculo.

Podemos ver en esta solución que tampoco podemos especificar libremente $ \ddot x$ en $x=0$ ya que su valor $0$ es independiente de la curvatura, como lo es $ \dot z=0$ . Sin embargo, $ \ddot z=1/r$ es la curvatura, que podemos elegir libremente. Así, nos transformamos de $x$ a $z$ usando

$$ \dot x= \sqrt {1- \dot z^2}$$

y

$$ \ddot x=- \frac { \dot z \ddot z}{ \sqrt {1- \dot z^2}}$$

para obtener

$$ \ddot z= \frac { \dot x \dot z}x- \dot x^2 \dot z \frac s{1-s^2}\;.$$

Ahora podemos evitar la singularidad calculando $ \ddot z$ de la ecuación diferencial para $x \ne0 $ y elegir libremente un valor para él en $x=0$ que determinará la curvatura del taco. Podemos entonces variar este parámetro para maximizar el volumen.

Resulta que en las pequeñas curvaturas iniciales, el gráfico es al principio aproximadamente circular (cerca de $s=0$ ) pero luego gira y termina en una tangente horizontal. Esto tiene sentido si miras los signos de $ \ddot x$ y $ \ddot z$ : El término adicional de la $ \sqrt {1-s^2}$ el factor aumenta $ \ddot x$ y disminuye $ \ddot z$ así que si domina en $s=1$ hace que la tangente sea horizontal. (La tangente tiene que ser horizontal o vertical en $s=1$ para contrarrestar el polo en el $s$ -(término dependiente).

Sin embargo, al aumentar la curvatura inicial, eventualmente la tangente se vuelve vertical antes de $s=1$ se alcanza. El mecanismo para ello es similar al de la caja circular, y el $s$ -dependiente del término sólo causa una corrección cuantitativa en este caso. Resulta que, como en el caso circular, el volumen es máximo precisamente en la curvatura que hace la tangente en $s=1$ salen en vertical. Para evitar los problemas de esta singularidad, cambié la ecuación por $ \ddot z$ a la ecuación para $ \ddot x$ en $s=1/2$ de modo que en cualquier singularidad estaba efectivamente tratando con una tangente "horizontal" y una curvatura finita.

Resulta que la corrección debida a la $s$ -dependiente es en realidad bastante pequeño. En términos prácticos, probablemente no vale la pena hacer el esfuerzo de optimizar la forma, ya que la forma cilíndrica es casi tan buena. El volumen óptimo es aproximadamente $0.415015$ (con la curvatura en $x=0$ sobre $2.0328$ ), mientras que si envuelves el disco alrededor del cilindro con un radio $2/ \pi $ que resuelve la versión rectangular, el volumen es $1/2-J_1( \pi )/ \pi\approx0.409404 $ (según Wolfram|Alfa ).

Aquí hay una comparación del tacoide y el semicírculo:

El rojo es el tacoide, el verde es el semicírculo. El tacoide se eleva más rápidamente, ya que no quiere desperdiciar la longitud del arco al llegar más lejos, ya que no puede beneficiarse de eso tanto más tarde cuando el $ \sqrt {1-s^2}$ el factor se activa. El taco sería un poco peor que el semicírculo si el taco fuera rectangular (sólo $0.618983$ en lugar del volumen óptimo $2/ \pi\approx0.636620 $ del semicilindro). Para ilustrar cómo esto cambia debido a la $ \sqrt {1-s^2}$ factor, ponderé el $x$ por ese factor. El azul muestra el tacoide ponderado, y el amarillo el semicírculo ponderado. La ganancia del taco cerca de la parte superior es ligeramente mayor que la pérdida cerca de la parte inferior.

También podemos compararlo con un gráfico circular optimizado para un taco con forma de disco. El valor óptimo del radio en ese caso es de aproximadamente $0.899736 \cdot2 / \pi\approx0.572790 $ y el volumen cilíndrico correspondiente es de aproximadamente $0.413570$ que está menos de medio por ciento por debajo del óptimo, así que al calcular las aproximaciones cilíndricas sus estudiantes se acercaban bastante al resultado óptimo.

Podemos dibujar los mismos gráficos de arriba para comparar el tacoide y el cilindro reoptimizado,

pero quizás más interesante es una comparación del volumen cerrado trazado contra la longitud del arco,

que muestra que estas dos soluciones utilizan su longitud de arco de una manera sorprendentemente similar, con el tacoide (rojo) sólo un poco más codicioso que el cilindro (verde), e incluso esa pequeña diferencia casi se equilibra al final.

Dado que el cilindro reoptimizado tiene la ventaja añadida de doblarse ligeramente hacia atrás para mejorar el agarre del contenido, esto plantea la cuestión de si sería preferible, en términos prácticos, renunciar a la optimización del medio ambiente y optar por una forma cilíndrica simple con un radio óptimo.