volumen de poliedros que corresponden a fullerenos icosaédricos

Question

Hay, creo, una secuencia de poliedros cuya forma se aproxima a la de la icosaedro (todos ellos tienen doce caras pentagonales y el resto hexágonos), y comienza:

dodecaedro regular (C$_{12}$, dodecahedrane)

icosaedro truncado (C$_{60}$, buckminsterfullereno)

?: (C$_{240}$, buckminsterfullereno)

?: (C$_{540}$, ?)

Estoy interesado en los poliedros que estas moléculas están asociados, a saber:

• ¿Cuál es el nombre correcto para esta secuencia de poliedros? (oeis.org no tiene ningún tipo de secuencias que coinciden con "12,60,240,540" en la actualidad)
• Existe una formula en la literatura para el volumen de estos poliedros? (el área de la superficie no es difícil de cálculo)

Answer 1

El volumen de un dodecaedro regular, que tiene 12 congruentes regular pentagonal caras, cada una con longitud de la arista $a$, está dada por la expresión generalizada $$\bbox[4pt, border: 1px solid blue;]{\color{blue}{V_{\text{dodecahedron}}}=\color{red}{\frac{(15+7\sqrt{5})a^3}{4}}\color{purple}{\approx 7.663118961 \space a^3}}$$ (Nota: Para la elaboración y explicación detallada, por favor vaya a través de HCR con la fórmula de los sólidos platónicos )

El volumen de un icosaedro truncado, que tiene 12 congruentes regular pentagonal caras y 20 congruentes regular hexagonal caras, cada una con longitud de la arista $a$, está dada por la expresión generalizada $$\bbox[4pt, border: 1px solid blue;]{\color{blue}{V_{\text{truncated icosahedron}}}=\color{red}{\frac{(125+43\sqrt{5})a^3}{4}}\color{purple}{\approx55.28773076\space a^3}}$$ (Nota: Para la elaboración y explicación detallada, por favor vaya a través de un análisis Matemático de icosaedro truncado por HCR )