Convergencia de coeficiente de Bhattacharyya

Question

Supongamos que tenemos una secuencia de (continua) variables aleatorias $(X_n)_{n\geq 1}$ con las correspondientes densidades $p_n(x)$ y otra secuencia $(Y_n)_{n\geq 1}$ con las correspondientes densidades $q_n(x)$ tal que $X_n \Rightarrow X \sim \mathcal{N}(\mu_X,\Sigma_X)$ en la distribución y $Y_n \Rightarrow Y \sim \mathcal{N}(\mu_Y,\Sigma_Y)$ en distribución. Si dejamos $p(x)$ $q(x)$ ser las densidades de $\mathcal{N}(\mu_X,\Sigma_X)$ $\mathcal{N}(\mu_Y,\Sigma_Y)$ respectivamente, es cierto que la Bhattacharyya coeficiente entre el $p_n$ $q_n$ $$BC(p_n,q_n) = \int \sqrt{p_n(x)q_n(x)}dx$$ converge a la BC de $p$ y $q$, $BC(p,q)=\int \sqrt{p(x)q(x)}dx$ ?

Me pregunto si puede llegarse a conclusiones como la convergencia en distribución no necesariamente implica la convergencia de las respectivas densidades.

Answer 1

Esto me tomó un tiempo, pero por fin lo conseguí. Me fui en el supuesto de que la limitación de BC sería el BC del límite. Resulta que no es cierto. He aquí un contraejemplo para demostrar que:

Vamos $$\mathcal A_n=\bigcup_{i=-∞}^∞ A_{n,i}$$ donde $A_{n,i}=[\dfrac {2i} n,\dfrac {2i+1} n)$. A continuación, puede definir el pdf secuencias como $$p_n (x)=\dfrac 1 {Z(n)} \dfrac 1 {\sqrt{2\pi}} \exp{(\dfrac {-x^2} 2)} I(x ∈ \mathcal A_n)$$ $$q_n (x)=\dfrac 1 {Z(n)} \dfrac 1 {\sqrt{2\pi}} \exp{(\dfrac {-x^2} 2)} I(x ∈ \mathcal A_n^c)$$ Estas son las densidades de la normal estándar variables aleatorias acondicionado en $X_n \in \mathcal A_n$$Y_n \in \mathcal A_n^c$, resepctively. Las densidades son sólo núcleos normales reescalado por idéntico (debido a la simetría) la normalización de las constantes que convergen a$1/2$$n \rightarrow \infty$. Tenga en cuenta que para cada una de las $n$, no hay densidad de superposición entre las $p_n (x)$$q_n (x)$. Si $p_n (x) > 0$, $q_n (x) = 0$ y vice-versa. Esto implica claramente que el $BC(p_n,q_n) = 0, \forall n$.

Queda por demostrar que $X_n \xrightarrow{d} X \sim \mathcal{N}(0,1)$$Y_n \xrightarrow{d} Y \sim \mathcal{N}(0,1)$. Sin pérdida de generalidad, podemos restringir la atención a la $(X_n)$ de la secuencia. Para probar la convergencia en distribución, simplemente tenemos que mostrar que $\lim_{n \rightarrow \infty} F_{X_n} (t) = \Phi(t)$ todos los $t$ a que $\Phi$ es continuo en toda la recta real, en este caso.

Subir a través de los pasos para mostrar esto requiere un poco más de trabajo, incluso aunque el resultado es obvio. La manera más fácil de hacer esto es utilizar las identidades, $ϕ(x)=Z(n)(p_n (x)+q_n (x))$, $F_{X_n} (t)=1-F_{Y_n} (-t)$ y $Φ(t)=1-Φ(-t)$.