Núcleo del operador adjunto

Question

Este problema es desconcertante mí, aunque debe ser muy simple.

Deje $L=-\partial_x^2 + \frac 1 2 x^{-2}$ ser un operador definido en $D(L)=C^\infty_c(0,+\infty)\subset L^2(0,+\infty)$. Su medico adjunto del operador en $L^2$ se $L^*=-\partial_x^2 + \frac 1 2 x^{-2}$ dominio $D(L^*)=\{u\in L^2\colon\: (-\partial_x^2 + \frac 1 2 x^{-2})u\in L^2 \text{ in the sense of distributions} \}$.

Ahora, quiero encontrar el núcleo de $L^*$, que yo sepa, para tener dimensión de $1$. Por lo tanto, voy a resolver $(-\partial_x^2 + \frac 1 2 x^{-2})u=0$, y que tiene dos soluciones: $x^{\frac{1\pm\sqrt 3} 2}$. El problema es que, mientras que estas funciones están en $L^2$ cerca de $0$, ninguno de ellos es en $L^2$$+\infty$.

Cual es la forma correcta de razón aquí? Yo no sólo considerar las funciones cerca de $0$, de lo contrario me gustaría terminar con dos de ellos, ni veo ninguna justificación en la toma de su suma como el generador del kernel.

Gracias por todas las respuestas!

Answer 1

De hecho era bastante simple. Es suficiente para considerar\begin{equation} \phi(x)=\begin{cases} x^{\frac {1+\sqrt 3 }{2}}-x^{\frac{1-\sqrt 3} 2}&\quad \text{if } 0<x\le 1,\\ 0&\quad \text{otherwise}. \end{casos} \end{equation}

Claramente es $\phi(x)$ $L^2$ y tal que $L^* \phi=0$. Por lo tanto, $\ker(L^*)=\text{span}\{\phi\}$.