Una pregunta sobre 166.44 en Principia Mathematica de Whitehead y Russell

Question

En el primer paso de Dem Me pregunto cómo $\Sigma ‘\times P^{;}Q$ se transforma en $\Sigma‘ \Sigma^;(P \overset{\downarrow}{.,})\dagger^; Q$ . http://i.stack.imgur.com/ojgzn.png Gracias,

Answer 1

Es muy difícil "desentrañar" esta fórmula.

Tenemos que empezar con el LHS de $166.44$ :

$\Sigma‘ \times P^{;} Q$ .

El primer paso es aplicar la "transformación" $166.1$ : $Q \times P = \Sigma‘P \underset{\overset{\textbf{.,}}{\ }}{\downarrow}^{;} Q$ .

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Nota

En los siguientes pasos utilizaré " $\downarrow$ " en lugar de "flecha abajo con punto y coma". ¡Ay! "flecha abajo" ya se utiliza en PM para la pareja $x \downarrow y$ .

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Aplicación de $166.1$ a $\Sigma‘ \times P$ obtenemos :

$\Sigma‘ P \downarrow^{;} \Sigma‘^{;} Q$ .

Ahora necesitamos $38.11$ para "jugar con" $\downarrow$ [ver $38.11$ en vol.I, página 313 :

$x \downarrow‘ y = \downarrow y‘x = x \downarrow y$

y el ejemplo con " $\cap$ " : $\alpha \cap \beta =\cap \beta‘ \alpha$ . Esto es así porque podemos "leer" la intersección de $\alpha$ y $\beta$ en función de $\cap \beta‘$ "aplicado a" $\alpha$ .]

Suponiendo que lo hayamos aplicado correctamente (véase el Anexo para más detalles), tenemos :

$[\Sigma‘(\Sigma‘ P \downarrow)^{;}]^{;} Q$ .

Finalmente aplicamos $150.1$ que, de nuevo, es "bastante simple": $S^{;}Q = S \dagger Q$ , para obtener :

$[\Sigma‘(\Sigma‘ P \downarrow) \dagger]^{;} Q$ .

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Anexo

Tenemos que considerar (gracias a George...) $116.44$ que es la contrapartida cardinal de $166.44$ (por favor, tenga en cuenta el mismo número después del punto ...) :

$(s‘k) \times \alpha = s‘(\times \alpha)‘‘k$

Olvidando el "cambio" de LHS con RHS, tiene claramente la misma "forma" de :

$\Sigma‘ \times P^{;} Q = (\Sigma‘ Q) \times P$ .

El primer paso en la prueba de $116.44$ es una aplicación de $113.1$ :

$\beta \times \alpha = s‘ \alpha \underset{\overset{\textbf{,,}}{\ }}{\downarrow} ‘‘\beta$ Def ["flecha hacia abajo con dos comas"].

Esto, a su vez, es el correlato de $166.1$ :

$Q \times P = \Sigma‘P \underset{\overset{\textbf{.,}}{\ }}{\downarrow}^{;} Q$ Def.

Ahora, volvamos a la prueba de $116.44$ aplicamos $113.1$ en el lado derecho [donde $s‘$ es el " $\beta$ " y $\alpha$ es el " $\alpha$ "], para obtener :

$s‘(\times \alpha)‘‘k = s‘ \alpha \underset{\overset{\textbf{,,}}{\ }}{\downarrow}‘‘s‘ ‘‘k$ .

Aquí necesitamos alguna transformación de la RHS anterior [véase el texto de PM página 114 y respuesta de George] :

$s‘s‘‘ \alpha \underset{\overset{\textbf{,,}}{\ }}{\downarrow}‘ ‘‘k$

Ahora, podemos explotar la analogía entre $166.44$ y $116.44$ "imitando" los pasos de $116.44$ :

$s‘(\times \alpha)‘‘k = s‘ \alpha \underset{\overset{\textbf{,,}}{\ }}{\downarrow}‘‘s‘ ‘‘k = s‘s‘‘ \alpha \underset{\overset{\textbf{,,}}{\ }}{\downarrow}‘ ‘‘k$

con algo como :

$\Sigma‘ \times P^{;} Q = \Sigma‘ P \underset{\overset{\textbf{.,}}{\ }}{\downarrow}^{;} \Sigma‘^{;} Q = \Sigma‘ \Sigma‘ P \underset{\overset{\textbf{.,}}{\ }}{\downarrow}^{;;}Q$

y, a continuación, sustituya uno de los dos " $;$ "con la "daga" ( $\dagger$ ), según $150.1$ .

Answer 2

Esto es sólo una ilustración para 113,44:

Supongamos que $k=\{ \beta, \gamma, \delta, ... \}$

Entonces

$(\times \alpha)‘‘k$

$ = \{\times \alpha ‘\beta, \times \alpha‘\gamma, \times \alpha‘\delta, ...\} $

$=\{\beta \times \alpha, \gamma \times \alpha, \delta \times \alpha, ...\}$

$=\{s‘\alpha \underset{,,}{\downarrow}‘‘\beta, s‘\alpha \underset{,,}{\downarrow}‘‘\gamma,s‘\alpha \underset{,,}{\downarrow}‘‘\delta,... \}$

$=s‘‘\{\alpha \underset{,,}{\downarrow}‘‘\beta, \alpha \underset{,,}{\downarrow}‘‘\gamma,\alpha \underset{,,}{\downarrow}‘‘\delta,... \} $

$=s‘‘\alpha\underset{,,}{\downarrow}‘‘‘\{\beta, \gamma,\delta,... \} $

$=s‘‘\alpha\underset{,,}{\downarrow}‘‘‘k$

O, Para cualquier $\beta\in k$

$\times \alpha‘\beta = \beta \times \alpha = s‘\alpha \underset{,,} {\downarrow}‘‘\beta= s‘(\alpha \underset{,,}{\downarrow})_{\epsilon}‘\beta$

Entonces

$(\times \alpha)‘‘k=s‘‘(\alpha\underset{,,}{\downarrow})_\epsilon‘‘k=s‘‘\alpha\underset{,,}{\downarrow}‘‘‘k$

Answer 3

Esta respuesta se inspira en una respuesta anterior en el que @Mauro descubrió las similitudes entre 113.44 y 166.44 y sugirió que sus dems son análogos entre sí.

$$ is convenient because it is viewed as the descriptive function $ × $ taking $$ como entrada.

Para el 38.11, $ \beta=× $

Por 113.1, $ ×=s‘\underset{,,}{\downarrow}‘‘ $

Por 37.101, $s‘\underset{,,}{\downarrow}‘‘=s‘\underset{,,}{\downarrow}‘$ . En otras palabras, $s‘\underset{,,}{\downarrow}$ también es una función descriptiva.

Ahora podemos ver que las dos funciones descriptivas son equivalentes: $×=s‘\underset{,,}{\downarrow}$

Dado $k$ como una clase de $$'s, when we want the descriptive function $ × $ to go inside $ k $ and perform $ × $ on every each of $ k $'s members, we write $ 'k$. (Véase 37.01)

Así, $(\times \alpha)‘‘k = s‘‘\alpha \underset{,,}{\downarrow} \epsilon‘‘k=s‘‘ \alpha \underset{\overset{\textbf{,,}}{\ }}{\downarrow}‘‘‘k$ .

Es decir Primero $\underset{,,}{\downarrow}$ entrar y tomar cada uno de $k$ como entrada, dejemos que $s$ entran en la clase resultante y operan sobre cada uno de los miembros recién transformados.

Esto explica el primer paso del Dem 113,44: $s‘(×)‘‘k=s‘s‘‘\underset{ ,,}{\downarrow}‘‘‘k$ .

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Ahora, cardenal $s$ es análogo al ordinal $$, and cardinal $ R'' $, $ R $, $ '' $ are analogous to ordinal $ ; $, $ † $ and $ ; $ respectively. Like $$ , $×P‘R$ es una función descriptiva de $R$ .

Para el 38.11, $×P‘R=R×P$

Por 166.1, $R×P=‘P\underset{.,}{\downarrow}^;R$

Por 150.1, $‘P\underset{.,}{}^;R=‘(P\underset{.,}{}†)‘R$ En otras palabras, $‘(P\underset{.,}{}†)‘R$ es una función descriptiva de R.

Ahora podemos ver que las dos funciones descriptivas son equivalentes:

$×P=‘(P\underset{.,}{}†)$ ------- (1)

Dado $Q$ como una relación de relaciones, $ ×P;Q$ realiza $×P$ en cada término de $Q$ campo. En virtud de (1), $×P;Q$ es lo mismo que $(‘(P\underset{.,}{}†));Q$ que es realizar $‘(P\underset{.,}{}†)$ en cada uno de los campos de Q, lo que equivale a realizar $P\underset{.,}{\downarrow}†$ en cada uno de los campos de Q, y a continuación realizar $ $ en cada uno de los miembros del campo recién transformado, es decir $^;(P\underset{.,}{})†^;Q$ . Esto explica el primer paso de 166,44 Dem, $‘×P;Q=‘^;(P\underset{.,}{})†;Q$

Answer 4

Si $S^;P$ es como $S‘‘C‘P$ en un orden similar a $P$ y luego en la foto:

$S‘R$ ----- $S^;P$ ------ $S‘T$

$S\uparrow$ ------------------ $\overset{\smile}{S} \downarrow$

$R$ ---------- $P$ --------- $T$

---

Dado $R=Q‘T$ Cuando el correlacionador es $ \times P$ entonces $\times P^;Q$ puede representarse así (de abajo arriba):

$R$ ---------------- $\huge{Q}$ -------------- $T$

$\uparrow$

Toma $(P\underset{.,}{\downarrow}\dagger) $ de $(P\underset{.,}{\downarrow}\dagger)^;Q$ tenemos $Q$ campo.

$\uparrow$

$P\underset{.,}{\downarrow}^;R$ ----- $\huge{(P\underset{.,}{\downarrow}\dagger)^;Q}$ --------- $P\underset{.,}{\downarrow}^;T $

$\uparrow$

Toma $\Sigma $ de $\times P ^;Q$ tenemos $(P\underset{.,}{\downarrow}\dagger)^;Q$ campo. Así, $\times P^;Q =\Sigma^;((P\underset{.,}{\downarrow}\dagger)^;Q) $

$\uparrow$

$\Sigma‘P\underset{.,}{\downarrow}^;R$ ----- $\huge{\times P^;Q}$ ------ $\Sigma‘P\underset{.,}{\downarrow}^;T $

||

$R\times P$ -------- $\huge{\times P^;Q}$ ---------- $T \times P $

$\uparrow$

$ \times P$

$\uparrow$

$R$ ---------------- $\huge{Q}$ -------------- $T$