¿Cómo puedo comprobar si un functor tiene un (izquierda/derecha) adjunto?

Question

Porque adjoint functors son sólo frío, y sabiendo que un par de functors es un adjunto par te da un montón de información de la generalizada resumen tonterías, a menudo me encuentro a mí mismo diciendo, "Hey, fresco functor. Pregunto si tiene un adjunto?" El problema es que no sé lo suficiente como categoría de la teoría para poder comprobar por mí mismo, lo que significa que puede ejecutar y pedir MO o alguien que conozcan, o renunciar.

Yo conozco a un par de condiciones necesarias para un functor tener una izquierda/derecha adjunto. Si no conserva bien limita o colimits, por ejemplo, sé que puedo dar. Hay un fácil-a-verificación de la condición suficiente para saber cuando un functor de la mitad de un adjunto par? Hay, al menos, la heurística, otros que "esto parece que podría funcionar?"

Answer 1

El functor adjunto teorema como se indica aquí y el especial adjunto functor teorema (que puede también ser encontrado en Mac Lane) son muy útiles para mostrar la existencia de adjoint functors.

En primer lugar aquí es la declaración de la especial adjunto functor teorema:

Teorema Deje $G\colon D\to C$ ser un functor y supongamos que se cumplen las siguientes condiciones:
(i) $D$ $C$ tienen pequeñas hom-conjuntos
(ii) $D$ tiene límites de los pequeños
(iii) $D$ está bien alimentado es decir, cada objeto tiene un conjunto de subobjetos (donde por un subobjeto nos referimos a una clase de equivalencia de monics)
(iv) $D$ tiene un pequeño cogenerating set $S$
(v) $G$ preserva límites
A continuación, $G$ ha dejado adjunto.

Ejemplo creo que este es un bonito ejemplo. Considerar la inclusión CHaus$\to$Superior de la categoría de compactos de Hausdorff espacios dentro de la categoría de todos los espacios topológicos. Ambas categorías tienen pequeñas hom-conjuntos, se sigue por el Teorema de Tychonoff que CHaus tiene todos los productos de tamaño pequeño y no es tan duro para comprobar que ha ecualizadores por lo que tiene todos los límites de los pequeños y el de la inclusión conserva estos. CHaus está bien alimentado desde monics son sólo inyectiva continua mapas y sólo hay una pequeña colección de topologías de hacer cualquier subespacio compacto y Hausdorff. Finalmente, uno puede comprobar que $[0,1]$ es un cogenerator para CHaus. Por lo $G$ ha dejado adjoint $F$ y sólo hemos demostrado que la Piedra-Čech compactification existe.

Si usted tiene un candidato para un adjoint (dicen que el par $(F,G)$) y desea comprobar directamente es a menudo más fácil de probar y cocinar una unidad y/o counit y compruebe que hay una contigüidad de esa manera - ya sea mediante el uso de ellos para dar una explícita bijection de hom-conjuntos o mediante la comprobación de que los composites $$G \stackrel{\eta G}{\to} GFG \stackrel{G \epsilon}{\to} G$$ y $$F \stackrel{F \eta}{\to} FGF \stackrel{\epsilon F}{\to} F$$ son identidades de $G$ $F$ respectivamente.

Pensé (aunque estoy en el riesgo de llegar demasiado largo) que me gustaría añadir otro enfoque. A menudo se pueden usar las formalismo para producir adjoints (aunque esto es en secreto con uno de los functor adjunto teoremas en la mayoría de los casos por lo que en cierto sentido es sólo psicológicamente diferentes). Por ejemplo, como en Reid Barton bonita respuesta si uno puede interpretar la situación en términos de categorías de presheaves o poleas es inmediato que ciertos pares de adjoints existen. Andrew gran respuesta da otra gran clase de ejemplos en los que el contenido de la especial adjunto functor es el teorema de trabajo detrás de las escenas para hacer la verificación de la existencia de adjoints muy fácil. Otra clase de ejemplos está dada por torsión teorías donde uno puede producir adjoints a las inclusiones de ciertas subcategorías de abelian (más generalmente pre-nidos) categorías mediante la comprobación de que cierta ortogonalidad/descomposición propiedades.

No puedo dejar de comentar que una instancia donde es muy fácil producir adjoints es en la configuración de forma compacta generado (y bien generado) categorías trianguladas. En la tierra de forma compacta generado categorías trianguladas uno puede agitar la varita mágica de Brown de representatividad y (siempre que el destino tiene pequeñas hom-conjuntos) el único obstáculo para una trianguladas functor tener una derecha/izquierda adjunto es la preservación de co-productos/productos (y los adjuntos se triangula automáticamente).

Answer 2

Un montón de gente-que-se-aficionado-de-adjoint-functor teoremas han respondido a este post diciendo: "adjoint functor teoremas". Permítanme darles más mundanas y la diferente respuesta que encaja mucho mejor en mi visión del mundo.

En mi experiencia (que pueden diferir de los demás), la verdadera respuesta es que la categoría de los teóricos tienen estos functor adjunto teoremas que funcionan bien en algunos casos, pero cuyo problema, como yo lo veo, es simplemente que son bastante generales. Ciertamente no soy una categoría teórico, pero yo soy un "matemático" y mi experiencia con estos teoremas ha sido bastante negativo. Tomar, por ejemplo, la noción de libre grupos. Yo estaba hablando con otro miembro del personal de aquí de una vez y ellos dijeron que se acababa de establecer un UG proyecto sobre la construcción libre de grupos y me dijo "no puedes simplemente decir" hecho por functor adjunto teorema'?" y ambos reímos porque sabíamos que era verdad. Y entonces fui y miré hacia arriba SAFT y comprobado que se podría construir libre de grupos---y no puede, porque la categoría de grupos (apenas un exótico o esotérico categoría!) ¿ no tiene un pequeño cogenerating conjunto. Mientras escribo, la respuesta aquí cuenta con 15 votos y una hermosa declaración de SAFT, pero si usted no puede conseguir gratis los grupos con él, entonces seguramente tiene a su utilidad. De hecho, aunque este tipo de va a contrapelo de lo que la mayoría de la gente está diciendo aquí, en mi experiencia sería de locos tratando de invocar a functor adjunto teoremas para la construcción libre de grupos: es mejor hacerlas uno mismo, no menos porque hacerlas usted mismo le enseñará mucho más acerca de cómo los objetos de trabajo.

Mi experiencia es que las cosas como SAFT son casi siempre justificada con la declaración de "Stone-Cech compactification!". He escuchado esta justificación, y sólo esta, tan a menudo ahora que la excusa que se ha desgastado.

Así que aquí está mi respuesta: Sí, hay algunos teoremas. Pero si no eres una categoría teórico, a continuación, en mi experiencia, los que tienen una aplicabilidad limitada. Es mejor pensar en las cosas por tu propia cuenta, diciendo: "hmm, he aquí un objeto con estructura de X, ¿cómo podría, por supuesto, construir un objeto con estructura Y a partir de ella?". Si usted puede ir en ambos sentidos que bien podría haber construido un par de adjoint functors, y entonces, usted puede probar para comprobar esta haciendo matemáticas en lugar de agitar categoría general-teoría de teoremas que específicamente han beein diseñado con un uno-tamaño-caber-todo propósito en mente, y que no se aplican a las exóticas categorías como la categoría de grupos.

Answer 3

Otras personas han mencionado que el Functor Adjunto Teoremas. He aquí una perspectiva diferente.

Hay un famoso examen de Cambridge pregunta que Pedro Johnstone:

Escribir un ensayo sobre 
 (a) la utilidad o
 (b) la inutilidad, 
de la Functor Adjunto Teoremas. 

Estoy de acuerdo con el trasfondo de la cuestión: el Functor Adjunto Teoremas (AFTs) no son tan útiles como usted podría pensar que cuando se reúna por primera vez. No son inútiles: pero mi propia experiencia es que la gama de situaciones en las que no he tenido ningún camino fácil de la construcción de la adjuntos, sin embargo, han sido capaces de verificar la hipótesis de una de POPA, ha sido muy limitada.

Tal vez más útil que saber el AFTs es conocer algunos de los grandes clases de la situación en la que un medico adjunto se garantiza que existe. Aquí están dos de estas clases.

${}$1. Olvidadizo functors entre las categorías de álgebras. En cualquier momento usted tiene una categoría $\mathcal{A}$ de álgebras, como Grupo, Anillo, Vect, ..., el olvidadizo functor $\mathcal{A} \to \mathbf{Set}$ ha dejado adjunto. Lo que no es tan conocido es que usted no tiene que olvidar toda la estructura; es decir, el codominio no tiene que ser Conjunto.

Por ejemplo, el functor $\mathbf{AbGp} \to \mathbf{Group}$ olvidar que un grupo abelian automáticamente tiene un adjunto a la izquierda. El functor $\mathbf{Ring} \to \mathbf{Monoid}$ olvidar la estructura aditiva de un anillo automáticamente tiene un adjunto a la izquierda. El olvidadizo functor $\mathbf{Assoc} \to \mathbf{Lie}$, el envío de un álgebra asociativa para su subyacente Mentira álgebra (con soporte de $[a, b] = a\cdot b - b \cdot a$) automáticamente tiene un adjunto a la izquierda. (Que puede que no se parece mucho a un olvidadizo functor, pero eso es sólo porque el soporte en un álgebra asociativa no es dado como una operación primitiva en la definición habitual de álgebra asociativa: tiene que ser derivadas a partir de otras operaciones.)

Lo mismo puede decirse si se habla de topológicos, grupos, anillos, etc, básicamente porque la parte Superior tiene a todos los límites de los pequeños y colimits.

Todo lo que es una consecuencia de la General de POPA (= 'la' iniciativa en algunas personas el uso). A mi mente es la principal razón por la que vale la pena el aprendizaje o la enseñanza de la General en la POPA.

${}$2. Kan extensiones. Deje $F: \mathbf{A} \to \mathbf{B}$ ser cualquier functor entre las categorías pequeñas. Luego hay un inducida por el functor $$ F^{*}: {[\mathbf{B}, \mathbf{Set}]} \a {[\mathbf{A}, \mathbf{Set}]} $$ definido por la composición de la con $F$. (Aquí se ${[\mathbf{B}, \mathbf{Set}]}$ significa que la categoría de functors de$\mathbf{B}$$\mathbf{Set}$, a veces denotado ${\mathbf{Set}}^{\mathbf{B}}$.)

El hecho es que el $F^{*}$ siempre tiene una izquierda y una derecha adjunto. Estos son llamados a la izquierda y a la derecha Kan extensión a lo largo de $F$. Lo mismo es cierto si usted reemplace $\mathbf{Set}$ por cualquier categoría con los límites de los pequeños y colimits.

Esto es realmente útil, a pesar de que puede no ser evidente. Por ejemplo, supongamos que estamos interesados en las representaciones de los grupos. Un grupo puede ser considerado como una categoría de objeto, y la categoría de las representaciones de un grupo de $G$ es sólo el functor categoría $[G, \mathbf{Vect}]$. Ahora tome un grupo de homomorphism $f: G \to H$. La inducida por el functor $$ f^{*}: [H, \mathbf{Vect}] \[G, \mathbf{Vect}] $$ envía una representación de $H$ a una representación de la $G$ en la forma obvia. Y está garantizado para tener ambos a la izquierda y a la derecha adjoints. Estos adjoints su vez una representación de $G$ en una representación de $H$, en una forma canónica. Creo que la representación de los teóricos de la llamada de estos el 'inducido' y 'coinduced las representaciones, al menos en el caso de que $G$ es un subgrupo de $H$ $f$ es la inclusión.

Ejercicio: supongamos $G$ ser un grupo. No son exclusivos de homomorphisms $G \to 1$ $1 \to G$ donde $1$ es la trivial grupo. Cada uno de estos dos homomorphisms induce un functor "$f^{*}$" entre la categoría de $[G, \mathbf{Set}]$ $G$- y los conjuntos de la categoría $[1, \mathbf{Set}] = \mathbf{Set}$ de los conjuntos. Estos dos functors cada uno tiene adjoints en ambos lados. Así que terminamos con seis functors y cuatro adjunctions. ¿Qué son?

La existencia de Kan extensiones es mejor derivadas de la teoría de los fines. De hecho, termina permiten describir de forma explícita.

Answer 4

Creo que con frecuencia los más fáciles de comprobar suficientes condiciones son las siguientes, donde también se hacen precisas por qué "esto parece que podría funcionar" es tan a menudo el éxito:

Teorema: Un functor $G: C\to D$ es un derecho functor adjunto (es decir, tiene un adjunto a la izquierda) si y sólo si para cada objeto $Y$$D$, existe una inicial de morfismos $\phi_Y:Y\to G(I_Y)$ $Y$ $G$. Por otra parte, una vez que encuentre inicial de morfismos de cada una de las $Y$$G$, la asociación de $Y\mapsto I_Y$ se extiende en una única forma de actuar en morfismos la definición de un functor $F: D\to C$, que además está a la izquierda medico adjunto el original functor $G$.

Esto es bien conocido y fácil demostrar (bueno, dependiendo de a quién preguntes), pero no es trivial y requiere muchos pasos, que se explica relativamente bien aquí. (Esencialmente, es la recuperación de la totalidad de la adjoint situación de tan sólo un functor y una unidad de transformación).

Una vez que usted lo sepa, usted puede realmente tener confianza en "sigue a tu nariz"de estilo adjunto de la construcción. No se trata de tener una "estimación inicial" para la izquierda adjoint (como un functor), pero en realidad construcciones para usted en una forma que está determinada únicamente por los limitados datos de la inicial de morfismos --- realmente único, no sólo hasta el isomorfismo natural.

Como un ejemplo de cómo esto puede ser útil pensar en la inclusión functor $U$$AbGrp$$Grp$. Es fácil ver que cualquier grupo de $H$ tiene un abelianization $Ab(H) = H/[H,H]$ $AbGrp$ con un mapa
$H\to Ab(H)$ la satisfacción de una inicial (universal) de la propiedad. Pero entonces, por el teorema anterior, podemos ampliar automáticamente esta asociación en una única forma de actuar en morfismos así, la definición de un abelianization functor $Ab$ que queda adjunto a la inclusión $U$.

Este mismo truco acelera la construcción de adjoints en casi cualquier situación en la que usted puede pensar.

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Edit: a Veces este teorema se utiliza como una definición alternativa para adjoint functors en términos de universal morfismos. Sin embargo se mire, la verdadera utilidad es saber que esta "débil", y de hecho asimétrica, en condición de realidad implica el "más fuerte", simétrica definiciones de adjoints a través de hom-conjuntos o unidades/counits. Creo que es realmente vale la pena para tamizar a través de los tres diferentes caracterizaciones de adjoints dado en Wikipedia.

Answer 5

Hay dos partes en esta respuesta.

1. En primer lugar, un functor debe ser continua (cocontinuous) a la izquierda (a la derecha) adjunto. La mayoría de las veces, es fácil comprobar que un functor ¿ no conservar (co)límites y por lo tanto no puede tener una a la izquierda (a la derecha) adjunto.

2. (co)la continuidad no es suficiente para demostrar que un functor de los adjuntos, pero es casi lo suficientemente bueno. Permítanme elaborar sobre esto. Si usted tiene un functor $F:P\to Q$ entre una completa parcial de las órdenes (y por lo tanto cocomplete), es un ejercicio fácil para construir una izquierda adjunto al tomar un $\sup$ de un subconjunto apropiado de la misma. Esto se puede generalizar de una manera sencilla a cualquier functor tomando un adecuado (co)límite. La mala noticia es que este (co)límite es, en general, a través de una gran categoría por lo que puede no existir. Aquí es donde la así llamada solución de conjunto de las condiciones de venir; son la manera de recortar esta categoría grande a uno pequeño.

Como muchas personas ya se dijo, existen diversas variaciones de este tipo de condiciones, desde el más general, pero también muy engorroso para verificación de la solución-condición del conjunto de condiciones más fáciles que combinan alguna forma de bien poweredness (cada objeto tiene un conjunto de subobjetos -- o cocientes, cualquiera que sea el caso) con la existencia de una pequeña separación (o generar) set. Uno que garantiza la existencia de un derecho adjuntos y que sobresale particularmente en mi memoria es la de la existencia de un pequeño densa subcategory -- consulte el capítulo V de Kelly libro sobre enriquecido categoría para los detalles precisos. Es especialmente memorable, porque muchas categorías vienen dados por dios densas pequeñas categorías como presheaf categorías (cortesía de Yoneda) y gavilla categorías (porque denso compuesto con la izquierda adjunto es denso).

Más tarde edit: muchas personas se han quejado acerca de la limitada utilidad de la functor adjunto teoremas en los que en muchos casos existe una relación directa, y por lo tanto mucho más esclarecedor, de la construcción. Pero no son situaciones donde una construcción directa no está disponible. Uno que me encontré recientemente es cuando el estudio de P. Johnstone el libro de Piedra espacios, más precisamente en el capítulo III y en la sección sobre las Crines de' teorema acerca de la monadicity de la categoría de compactos de Hausdorff espacios. En la secuela, P. Johnstone demuestra que otro resultado gracias a los Manes, el hecho de que la categoría de álgebras (en el sentido de álgebra universal) en la categoría de compactos de Hausdorff espacios también es monádico. Él comenta que uno tiene que usar el GAFT (y Beck monadicity teorema) en este caso, porque no es fácil descripción directa de la izquierda adjunto. Más adelante en el libro (en algún lugar, estoy citando de memoria y no tienen el libro por mí), argumenta por qué no hay una única receta para la izquierda adjunto.