Por que $M \mathbin{\otimes_R} N \cong M_\mathfrak{p} \mathbin{\otimes_{R_\mathfrak{p}}} N$?

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo, $\mathfrak{p}$ un primer ideal de $R$, $M$ un $R$-módulo, y $N$ $R_\mathfrak{p}$- módulo. ¿Por qué tenemos este isomorfismo? $$M \mathbin{\otimes_R} N \cong M_\mathfrak{p} \mathbin{\otimes_{R_\mathfrak{p}}} N$$

Puedo probar esto por las manos descubiertas por tomar un mapa a ser definido por $m \otimes n \mapsto (m / 1) \otimes n$ y el otro mapa por $(m / s) \otimes n \mapsto m \otimes (n / s)$. Un poco de trabajo es necesaria para mostrar que el último está bien definido, pero cuando se hace eso tenemos dos mutuamente inversas $R$-lineal (y $R_\mathfrak{p}$-lineal) de los mapas. Pero, ¿qué es el conceptual razón para este isomorfismo? La expansión de la derecha un poco, vemos que estamos diciendo $$M \mathbin{\otimes_R} N \cong (M \mathbin{\otimes_R} R_\mathfrak{p}) \mathbin{\otimes_{R_\mathfrak{p}}} N$$ y la expansión de la mano izquierda, que parece que lo que queremos demostrar es $$M \mathbin{\otimes_R} (R_\mathfrak{p} \otimes_{R_\mathfrak{p}} N) \cong (M \mathbin{\otimes_R} R_\mathfrak{p}) \mathbin{\otimes_{R_\mathfrak{p}}} N$$ pero no veo ninguna razón por tensor de productos a través de diferentes anillos debería asociar como que...

Answer 1

Como a menudo, de una forma más general el resultado es más fácil de entender.
Así que vamos a olvidar acerca de localizaciones y considerar la posibilidad de un morfismos de anillos conmutativos $\phi:A\to B$, $A$- módulo de $M$ $B$- módulo de $N$.
Cada $B$-módulo de $T$ también puede ser considerado como un $A$-módulo ("olvidadizo functor", "restricción de escalares"), que vamos a denotar por $T_A$.

Entonces tenemos un isomorfismo canónico de $A$-módulos $$M\otimes_A (N_A )\stackrel {\sim} {\to} ((M\otimes_A B)\otimes_B N)_A $$

envío $$m\otimes n \mapsto(m\otimes1)\otimes n $$
que se especializa lo que usted desea.

La imagen geométrica es que tiene un morfismos de afín esquemas $f=\phi^*:Y=Spec(B)\to X=Spec(A)$, un cuasi-coherente gavilla $\mathcal M=\tilde M$ $X$ y un cuasi coherente gavilla $\mathcal N=\tilde N$$Y$.
El de arriba isomorfismo de los módulos que se traduce en el isomorfismo de las poleas de $\mathcal O_X$-Módulos

$$\mathcal M \otimes_{\mathcal O_X} f_* \mathcal N \stackrel {\sim} {\to} f_*(f^*\mathcal M \otimes_{\mathcal O_Y} \mathcal N) $$ En la geometría algebraica, esto se llama la proyección de la fórmula (también aparece en otros contextos ).

Answer 2

Deje $A,B$ ser asociativa anillos con $1$. Deje $X$ derecho $A$-módulo, $Y$ $(A,B)$- bimodule, y $Z$ a la izquierda $B$-módulo. Luego de la evidente functorial morfismos $$ (X\otimes_AY)\otimes_BZ \rightleftarrows X\otimes_A(Y\otimes_BZ) $$ son inversas isomorphisms.

Aquí hay dos referencias:

• Bourbaki, Algèbre, II.3.8, de la Proposición 8, p. 64.

• Cartan-Eilenberg, álgebra Homológica, II.5, la Proposición 5.1, p. 27.

EDIT. Cartan y Eilenberg realmente no dar una prueba. No parece fácil encontrar una prueba en línea. Entonces, pensé que valdría la pena escribir una prueba aquí. Miré a Bourbaki y Atiyah-MacDonald pruebas. La de abajo está más cerca de Atiyah-MacDonald, pero creo que las cosas se ponen más transparente cuando se realiza el zoom menos en los objetos en sí, y más en los functors que representan.

Deje $A$ $C$ ser anillos, vamos a $X$ derecho $A$-módulo, $Y$ $(A,C)$- bimodule, y $Z$ a la izquierda $C$-módulo. Debemos mostrar que hay una (única) $\mathbb Z$-lineal de morfismos $$ \left(X\ \underset{Un}{\otimes}\ Y\right)\ \underset{C}{\otimes}\ Z\a X\ \underset{Un}{\otimes}\ \izquierdo(Y\ \underset{C}{\otimes}\ Z\right) $$ la satisfacción de $$ (x\otimes y)\otimes z\mapsto x\otimes(y\otimes z).\tag1 $$ Deje $M$ $\mathbb Z$- módulo. Deje $B$ $\mathbb Z$- módulo de los $\mathbb Z$-bilineal mapas
$$ b:\left(X\ \underset{Un}{\otimes}\ Y\right)\times Z\M $$ que satisfacer de forma idéntica $b(\tau c,z)=b(\tau,cz)$, y deje $T$ $\mathbb Z$- módulo de los $\mathbb Z$-trilineal mapas
$$ t:X\times Y\times Z\M $$ que satisfacer de forma idéntica $t(xa,y,z)=t(x,ay,z)$$t(x,yc,z)=t(x,y,cz)$.

Considere la posibilidad de la $\mathbb Z$-lineal mapa de$B$$T$, el cual se adhiere a $b$ $B$ el elemento $t$ $T$ definido por $t(x,y,z):=b(x\otimes y,z)$.

Dado un $t$ $T$ vamos a definir un elemento $b$ $B$ por una construcción inversa a la de la frase anterior.

Escoge un $z$$Z$, y la forma de la $\mathbb Z$-bilineal mapa $$ b_z:X\times Y\M $$ dado por $b_z(x,y):=t(x,y,z)$. Se verifica que $b_z$ induce una $\mathbb Z$-lineal mapa $$ \ell_z:X\ \underset{Un}{\otimes}\ Y\a M, $$ y que $b(\tau,z):=\ell_z(\tau)$ se ajusta a la ley.

Poner $$ F(X,Y,Z):=\left(X\ \underset{Un}{\otimes}\ Y\right)\ \underset{C}{\otimes}\ Z,\quad G(X,Y,Z):=X\ \underset{Un}{\otimes}\ \izquierdo(Y\ \underset{C}{\otimes}\ Z\right). $$ Las anteriores observaciones proporcionan una functorial isomorfismo $$ \text{Hom}_{\mathbb Z}(F(X,Y,Z)?)\simeq\text{Hom}_{\mathbb Z}(G(X,Y,Z),?). $$ Yoneda del Lema da entonces un functorial isomorfismo $F\to G$, y uno fácilmente se comprueba que satisface (1).