¿Qué es la prueba para el hecho de que los números primos son 1 arriba o debajo de un múltiplo de 6?

Question

Estaba teniendo una discusión con mi amigo y yo no sé cómo llegamos aquí. Pero, de repente, él dijo que todos los números primos son de 1 por encima o por debajo de un múltiplo de 6.

En primer lugar he intentado un montón de números primos, pero no podía refutar esto. He intentado buscar en google pero el material es demasiado complicado para mí.

Hay un sencillo de entender la prueba de esta afirmación?

$p \equiv \pm 1 \pmod{6}$ donde $p$ es primo.

Como se ha señalado por las respuestas. Se me olvidó mencionar que p > 3. Nunca he comprobado 2 y 3 cuando hablando con mi amigo. De alguna manera el pensamiento de ellos, como la esquina de los casos.

Answer 1

Si $p$ es un prime > 3, entonces desde $p$ no es divisible por 3, tenemos que tener $p−1$ o $p+1$ divisible por 3. Y ambos son, por lo que uno debe ser divisible por 6.

Más generalmente, si usted no es divisible por 2 ni por 3, entonces usted vecino un múltiplo de 6.

Answer 2

Dado cualquier entero $p > 3$, sabemos por (una versión modificada del) el algoritmo de la división que existen enteros únicos $q \geq 0$ y $r \in \{-1,0,1,2,3,4\}$ tal que: $$ p = 6q + r $$ ahora, supongamos que $p$ es primo. Luego observe que $r \notin \{0,2,4\}$, ya que de lo contrario $p$ sería incluso (contradiciendo el hecho de que $p \neq 2$).

Además, observe que $r \neq 3$, ya que de lo contrario sería divisible por $p = 6q + 3$ (contradiciendo el hecho de que $3$) $p \neq 3$.

Así $r = \pm 1$, como se desee. $~~\blacksquare$

Answer 3

$3$ $p^2-1=(p-1)(p+1)$ se dividen entonces dividir a $3$ $p+1$o $3$ brecha $p-1$ (ya $3$ prime), como dividir de $2$ $p+1$ $p-1$, entonces $6=2\times 3$ dividir $p+1$ o $p-1$.

Answer 4

Sugerencia $\ $Primes $>3\,$ son coprimos a $\,2,3\,$ coprimo a $\,6.\,$ coprime el enteros $\,n\,$ $6$ son los de forma $\,6q\!\color{#c00}{+\!1},\ 6q\!+\!5 = 6(q\!+\!1)\color{#c00}{-\!1},\,$ desde $\,2\mid 6q\!+\!r,\ r\in\{0,2,4\},\,$ y $\, 3\mid 6q\!+\!3,\,$ agotar todas las posibles casos, ya que, por el algoritmo de división, $\ n = 6q+r\,$ % resto único $\, 0\le r \le 5.$

Answer 5

En primer lugar, cada número está dentro de una distancia de seis de un múltiplo de seis. Los números primos mayores que 2 son impares, por lo que debe ser una extraña distancia de un múltiplo de seis, de lo contrario sería aún. Eso significa que los números primos son una distancia de uno o tres de un múltiplo de seis.

Sin embargo, los múltiplos de seis son divisibles por 3, por lo que los números de una distancia de tres de los múltiplos de seis también son divisibles por 3. Que significa que 2 (aún) y 3 son los únicos números primos no una distancia de un múltiplo de seis. Por lo tanto, llegamos a la conclusión, todos los números primos mayores que 4 son más o menos uno a partir de un múltiplo de seis.