Diferencia entre X/A y G/H

Question

Soy principalmente un estudiante de física y estoy tratando de auto-aprender algunos topología algebraica. Estoy teniendo algunas dificultades para la comprensión de las diferencias entre las construcciones de

$(X,A)$ (Par de espacios), $X/A$ (Cociente de espacio), $G/H$ (Cociente de grupo topológico de grupos), $G/H$ (Órbita espacio donde H es visto como actuar en el $G$ dicen que por la izquierda de la multiplicación)

Mis preguntas son las siguientes:

1. Si $G$ es un grupo topológico y $H$ es un (normal) subgrupo, a continuación, es el cociente del grupo de $G/H$ (topológicamente) el mismo $G/H$ visto como un cociente topológica del espacio? Si no hay una condición en la que las topologías o espacios en los que coinciden? ¿Cómo funciona el espacial en órbita $G/H$ diferir de estas dos nociones?

2. Pienso que siempre dio por sentado que $(X,A)$ fue el mismo que $X/A$ (cociente de espacio), debido a la escisión en la homología pero ahora que estoy aprendiendo algunas homotopy teoría yo no estoy tan seguro. Es $(X,A)$ nunca, el mismo que $X/A$?

3. Bajo qué condiciones es $\pi_n(X,A) \cong \pi_n(X/A)$

Answer 1

Vamos a tratar de número de $1$ primera. $G/H$ visto como un cociente de espacio en el sentido topológico es muy diferente de la de cociente de grupo. Por ejemplo, considere el $G=\mathbb R^2$ como un grupo abelian en virtud de la adición. Deje $H=\mathbb R\times\{0\}$. A continuación, $G/H$ como un espacio topológico es sólo $\mathbb R^2$ $x$- eje reducido a un punto. Como un grupo de $G/H$ es homeomórficos $\mathbb R$. Así que la topológico cociente es casi en todas partes $2$-dimensional, mientras que el grupo cociente es $1$-dimensional.

Por número de $2$ usted está pensando probablemente que $H_n(X,A)\cong H_n(X/A)$ en muchas circunstancias, de forma que, aproximadamente "$(X,A)=X/A$". El problema aquí es que el $H_n(X,A)$ es una convención notacional para la relación de homología basado en cadenas de $C_n(X,A)=C_n(X)/C_n(A)$. No estamos pensando en $(X,A)$ como ser en sí mismo un espacio. Así que en realidad la pregunta no hace sentido semántico.

Como de número de $3$, generalmente se supone que las $A$ es un subespacio cerrado abierto en el barrio en el que la deformación se retrae en $A$. Luego de su declaración es verdadera.