Dirac ' delta s en 3 dimensiones: prueba de $\nabla^2(\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\|^{-1})=-4\pi\delta(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0)$

Question

Si $T_f$ es una distribución, es decir, una funcional lineal continua de acuerdo a la convergencia definido aquí, definidos en el espacio de $K$ de las funciones de la clase $C^\infty$ que son nulos fuera de un intervalo acotado (que no es el mismo para todas las funciones), su derivada se define como $$\frac{dT_f}{dx}(\varphi):=-T_f(\varphi')$$where $\varphi'$ is the derivative of $\varphi$. The symbolic writing $T_f(\varphi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\varphi(x)dx$ is often used to write such a functional, since, if $g$ is (Riemann or Lebesgue) integrable on every bounded interval, then $\int_{-\infty}^\infty g(x)\varphi(x)dx$ indeed is such a continuous functional. In this context, we can symbolically define the "derivative" $f'$, for any $T_f$, even if the symbolic writing $f$ does not refer to an integrable function, according to the expression$$\int_{-\infty}^\infty f'(x)\varphi(x)dx:=-\int_{-\infty}^\infty f(x)\varphi'(x)dx=:\frac{dT_f}{dx}(\varphi).$$

Vamos a venir a mi pregunta. Mientras que el estudio de la física, en particular, a la teoría del electromagnetismo y la derivación de la Biot-Savart ley de Ampère la ley, yo siempre encuentro la igualdad$$\nabla^2\left(\frac{1}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\|}\right)=-4\pi\delta(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0)$$where $\nabla^2$ is the Laplacian$^1$. I suppose that, in the tridimensional case, with $\phi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$, $\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_i}\phi(\boldsymbol{x}) dx_1dx_2dx_3$ is analogously defined as $\frac{\partial T_f}{\partial x_i}(\varphi)$, which I suppose to be analogously defined, in turn, as $-\int_{\mathbb{R}^3}f(\boldsymbol{x})\frac{\partial \phi(\boldsymbol{x})}{\partial x_i} dx_1dx_2dx_3$, although I say I suppose because I have not found a rigourous definition of such derivatives on line nor in cartaceous texts; as to mathematical resources, I have studied Kolmogorov-Fomin's Элементы теории функций и функционального анализа, which only focuses on the monodimensional $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ case. Once fixed a proper definition of such derivatives, how can it be proved that $\nabla^2(\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\|^{-1})=-4\pi\delta(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0)$?

$^1$ _{El enlace contiene una derivación de $\nabla^2(\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\|^{-1})=-4\pi\delta(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0)$ (ecuaciones (18)-(24)), pero yo no lo entiendo: yo entiendo que si se podría aplicar Gauss teorema de la divergencia al (20), pero sé que para funciones de clase $C^1(\mathring{A})$, $\overline{V}\subset\mathring{A}$, sólo, mientras que $\nabla\left(\frac{1}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\|}\right)$ no está definido aún para $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0$; la otra derivación de la identidad $\nabla^2(\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\|^{-1})$ $=-4\pi\delta(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0)$ que he encontrado utiliza un "débil límite", pero no se utiliza la definición formal de la derivada de una distribución que he escrito anteriormente. Estas son las dos únicas referencias que se aborda lo que estoy pidiendo que se me han sabido encontrar.}

Answer 1

Tienes razón, las derivadas parciales de distribuciones en las mayores dimensiones de los espacios se definen como supuso,

$$\frac{\partial T}{\partial x_i} \colon \varphi \mapsto -T\biggl[\frac{\partial \varphi}{\partial x_i}\biggr],$$

más generalmente

$$D^{\alpha} T \colon \varphi \mapsto (-1)^{\lvert\alpha\rvert} T[D^{\alpha}\varphi]$$

para más derivados.

De que usted obtenga $(\nabla^2 T)[\varphi] = T[\nabla^2\varphi]$, y para el localmente integrable función de $f(x) = \lVert x-x_0\rVert^{-1}$ con lo que tenemos

$$(\nabla^2 T_f)[\varphi] = T[\nabla^2\varphi] = \int_{\mathbb{R}^3} f(x)\cdot \nabla^2\varphi(x)\,dx_1\,dx_2\,dx_3.\tag{1}$$

Ahora elija $R > 0$ tan grande que $\operatorname{supp} \varphi \subset B_R(x_0)$, y elija $0 < \varepsilon < R$. Entonces

$$\int_{\mathbb{R}^3} f(x)\cdot \nabla^2\varphi(x)\,dx_1\,dx_2\,dx_3 = \lim_{\varepsilon \searrow 0} \int_{\varepsilon < \lVert x-x_0\rVert < R} f(x)\cdot \nabla^2\varphi(x)\,dx_1\,dx_2\,dx_3$$

desde $f$ es localmente integrable y $\nabla^2\varphi$ es continua.

Lejos de $x_0$, $f$ es suave, y un poco tedioso cálculo muestra que $\nabla^2 f \equiv 0$$\mathbb{R}^3\setminus \{x_0\}$, por lo que

$$\int_{\mathbb{R}^3} f(x)\cdot \nabla^2\varphi(x)\,dx_1\,dx_2\,dx_3 = \lim_{\varepsilon \searrow 0} \int_{\varepsilon < \lVert x-x_0\rVert < R} f(x)\cdot \nabla^2\varphi(x) - \varphi(x)\cdot \nabla^2 f(x)\,dx_1\,dx_2\,dx_3,$$

y para que la integral se puede aplicar Verde de la fórmula para obtener

\begin{align} \int_{\mathbb{R}^3} f(x)\cdot \nabla^2\varphi(x)\,dx_1\,dx_2\,dx_3 &= \lim_{\varepsilon \searrow 0}\; \Biggl(\int_{\lVert x-x_0\rVert = R} f(x)\frac{\partial \varphi}{\partial \nu}(x) - \varphi(x)\frac{\partial f}{\partial\nu}(x)\,dS\\ &\qquad\qquad + \int_{\lVert x-x_0\rVert = \varepsilon} f(x)\frac{\partial \varphi}{\partial \nu}(x) - \varphi(x)\frac{\partial f}{\partial\nu}(x)\,dS\Biggr)\\ &= \lim_{\varepsilon \searrow 0} \int_{\lVert x-x_0\rVert = \varepsilon} f(x)\frac{\partial \varphi}{\partial \nu}(x) - \varphi(x)\frac{\partial f}{\partial\nu}(x)\,dS, \end{align}

donde $dS$ denota el de la medida de superficie de la esfera, $\frac{\partial}{\partial\nu}$ la derivada direccional en la dirección del exterior normal, y la primera integral en el lado derecho se desvanece desde $\varphi$ se desvanece en un barrio de la parte exterior de la esfera. El exterior de lo normal en la esfera de la $\lVert x-x_0\rVert = \varepsilon$$-\frac{x-x_0}{\lVert x-x_0\rVert}$,

así que nos quedamos con

$$\frac{1}{\varepsilon}\int_{\lVert x-x_0\rVert = \varepsilon} f(x)\langle \nabla\varphi(x),x-x_0\rangle - \varphi(x)\langle \nabla f, x-x_0\rangle\,dS.$$

Un sencillo cálculo muestra

$$\frac{1}{\varepsilon}\int_{\lVert x-x_0\rVert = \varepsilon} f(x)\langle\nabla\varphi(x),x-x_0\rangle\,dS \leqslant \frac{1}{\varepsilon^2}\int_{\lVert x-x_0\rVert = \varepsilon} \lVert\nabla\varphi\rVert\cdot\varepsilon\,dS \leqslant C\frac{4\pi\varepsilon^2}{\varepsilon} \xrightarrow{\varepsilon \searrow 0} 0.$$

Para la otra parte de la integral, la informática, la $\frac{\partial f}{\partial\nu}$ da

$$\int_{\lVert x-x_0\rVert = \varepsilon} \varphi(x)\cdot \frac{1}{\varepsilon^2}\,dS,$$

y desde $\varphi$ es continua en a $x_0$ hemos

$$\lim_{\varepsilon\searrow 0} \int_{\lVert x-x_0\rVert = \varepsilon} \varphi(x)\cdot \frac{1}{\varepsilon^2}\,dS = 4\pi\varphi(x_0).$$

La recopilación de todo sin ensuciar las señales, obtenemos

$$(\nabla^2 f)[\varphi] = \int_{\mathbb{R}^3} f(x)\cdot \nabla^2\varphi(x)\,dx_1\,dx_2\,dx_3 = -4\pi \varphi(x_0) = -4\pi\delta_{x_0}[\varphi].$$

Que es válido para todas las funciones de prueba de $\varphi$, por lo tanto $\nabla^2 f = -4\pi\delta_{x_0}$.

Answer 2

Para una fija $x_0$, definir $G_{x_0}=|x-x_0|^{-1}$. A continuación,$\nabla^2 G_{x_0}=0$$x \ne x_0$. Si $\varphi$ es un compacto respaldado $C^{\infty}$ función en $\mathbb{R}^3$, luego $$ \nabla\cdot(G_{x_0}\nabla\varphi-\varphi \nabla G_{x_0})=G_{x_0}\nabla^2\varphi-\varphi\nabla^2G_{x_0}=G_{x_0}\nabla^2\varphi,\;\;\; x \ne x_0. $$ Integrar y aplicar el teorema de la divergencia, teniendo en cuenta que $\varphi$ se desvanece fuera de una gran esfera: \begin{align} \int_{\mathbb{R}^3} G_{x_0}\nabla^2\varphi dV &=\lim_{\epsilon\downarrow 0}\int_{|x-x_0|\ge \epsilon}G_{x_0}\nabla^2\varphi dV\\ &=-\lim_{\epsilon\downarrow 0}\int_{|x-x_0| \ge \epsilon}\nabla\cdot(\varphi \nabla G_{x_0} - G_{x_0}\nabla\varphi)dV \\ & =-\lim_{\epsilon\downarrow 0}\int_{|x-x_0|=\epsilon}\left(\varphi\frac{\partial G_{x_0}}{\partial n}-G_{x_0}\frac{\partial\varphi}{\partial n}\right)dS \\ & =-\lim_{\epsilon\downarrow 0}\int_{|x-x_0|=\epsilon}\varphi\frac{\partial G_{x_0}}{\partial n}dS \end{align} La normal derivado es en lo interior, dirección en $|x-x_0|=\epsilon$ debido a que el exterior normal en $\epsilon \le |x-x_0| \le R$ es cuando esto comenzó. $G_{x_0}(x)=1/r$ $|x-x_0|=r$ . Así que al final termina con una normal derivado de la $G_{x_0}$ igual a$1/\epsilon^2$$|x-x_0|=\epsilon$. Por lo tanto, de recoger un factor igual al área de la unidad de la esfera: $$ \int_{\mathbb{R}^3} G_{x_0}\nabla^2\varphi dV = -\lim_{\epsilon\downarrow 0}\frac{1}{\epsilon^2}\int_{|x-x_0|=\epsilon}\varphi(x)dS = -4\pi\varphi(x_0). $$