Solución
$\dfrac{3z}{1-z-2z^2} = 3z \sum_{k=0}^\infty (z+2z^2)^k$ como $z \to 0$ desde $z+2z^2 \to 0$ . [Así que hay series de poder].
Dejemos que $(a_k:k\in\mathbb{N})$ sea una secuencia tal que $\dfrac{3z}{1-z-2z^2} = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k$ .
Entonces $3z = (1-z-2z^2) \sum_{k=0}^\infty a_k z^k = a_0 + (a_1-a_0) z + \sum_{k=0}^\infty (a_{k+2}-a_{k+1}-2a_k) z^{k+2}$
Así, $a_0 = 0$ y $(a_1-a_0) = 3$ y $a_{k+2}-a_{k+1}-2a_k = 0$ para todos $k \in \mathbb{N}_{\ge 2}$ .
Notas
Este método funciona incluso cuando el denominador es un polinomio grande y la descomposición de la fracción parcial sería ridícula de hacer a mano. Sin embargo, si quieres una solución de forma cerrada todavía tienes que resolver la recurrencia, que daría exactamente la misma respuesta. Si te fijas bien, esto también muestra la relación entre la descomposición parcial de la fracción (incluyendo el caso con múltiples raíces) y las relaciones de recurrencia.