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¿Existe una forma más fácil de encontrar una serie de Taylor que calcular directamente la fórmula?

Digamos que la tarea es encontrar la serie de Taylor en el origen de la función $$f(x) = \frac{3x}{1-x-2x^2}$$

La fórmula es $T^n_0 =\sum^n_{k=0} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$ . Si sigo esta fórmula, necesito al menos calcular las derivadas 4ª o 5ª para encontrar la expresión general, lo que lleva mucho tiempo y muy probablemente acabe con una expresión errónea.

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DiGi Puntos 1925

SUGERENCIA: Tenga en cuenta que $1-x-2x^2=(1-2x)(1+x)$ Así que

$$\frac{3x}{1-x-2x^2}=\frac1{1-2x}-\frac1{1+x}\;.$$

Ahora utiliza una expansión de serie de Taylor conocida para expandir cada una de las fracciones del lado derecho, y combina las series en una sola serie.

Añadido: Permítanme enfatizar las Matemáticas $1000$ El comentario de la Sra. B.: una vez que se conocen unas cuantas series de potencias, siempre hay que intentar aprovecharlas para obtener otras nuevas. Aquí es sólo cuestión de sumar un par, pero a veces hay que trabajar un poco más: diferenciar o integrar una, multiplicarla por alguna potencia de $x$ o aplicando alguna combinación de estas manipulaciones.

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Lubin Puntos 21941

Hay otra forma, no tan buena como aplicar lo que sabes de las series geométricas y otras conocidas. Pero es completamente efectiva.

¿Has aprendido a dividir polinomios? Se enseña en la escuela secundaria aquí en los Estados Unidos. Para obtener una expansión en serie de una función racional, haz una división larga con el mismo espíritu, pero simplemente ordena tus polinomios en ascendente por orden de grado y no de forma descendente, como hacías en el instituto. Sólo ten cuidado con los errores por descuido, ya que pueden estropear gravemente tu resultado.

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user21820 Puntos 11547

Solución

$\dfrac{3z}{1-z-2z^2} = 3z \sum_{k=0}^\infty (z+2z^2)^k$ como $z \to 0$ desde $z+2z^2 \to 0$ . [Así que hay series de poder].

Dejemos que $(a_k:k\in\mathbb{N})$ sea una secuencia tal que $\dfrac{3z}{1-z-2z^2} = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k$ .

Entonces $3z = (1-z-2z^2) \sum_{k=0}^\infty a_k z^k = a_0 + (a_1-a_0) z + \sum_{k=0}^\infty (a_{k+2}-a_{k+1}-2a_k) z^{k+2}$

Así, $a_0 = 0$ y $(a_1-a_0) = 3$ y $a_{k+2}-a_{k+1}-2a_k = 0$ para todos $k \in \mathbb{N}_{\ge 2}$ .

Notas

Este método funciona incluso cuando el denominador es un polinomio grande y la descomposición de la fracción parcial sería ridícula de hacer a mano. Sin embargo, si quieres una solución de forma cerrada todavía tienes que resolver la recurrencia, que daría exactamente la misma respuesta. Si te fijas bien, esto también muestra la relación entre la descomposición parcial de la fracción (incluyendo el caso con múltiples raíces) y las relaciones de recurrencia.

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