Número infinito de derivados

Question

¿Hay algún tipo de función (que no sea trigonométrica) que pueda tomar una cantidad infinita de derivadas sin que nunca se convierta en 0. Las funciones algebraicas no importan cuánto tiempo, o cuántas potencias tiene que eventualmente se puede derivar a 0. No estoy incluyendo las funciones trigonométricas porque son circulares en la naturaleza. Me refiero a una función que no va a ir en un círculo como trigonométrica hacer; Pero tendrá infinitas derivadas.

Answer 1

$\log{x}$ y sus diversos derivados y antiderivados.

Realmente, los polinomios son la excepción aquí: es bastante fácil demostrar por inducción que cualquier función suave $f$ para lo cual $d^nf/dx^n=0$ es un polinomio de grado inferior a $n$ .

Answer 2

Las únicas funciones suaves para las que una derivada de algún orden es idénticamente cero son los polinomios.

Esto es esencialmente sólo la computación $\int^{(n)}0\;dx$ para la arbitrariedad $n$ (no olvides la constante aditiva en cada etapa).

Answer 3

Ciertamente, $f(x) = Ce^{\pm x} \neq 0$ para un valor fijo no nulo $C$ .

Answer 4

Además de lo que dicen todos los demás: las funciones racionales que no son polinomios, como $\dfrac1x$ , $\dfrac1{1-x}$ , $\dfrac x{x^2+2x+2}$ etc.

También cosas como $x^x$ que está a medio camino entre una potencia (por ejemplo $x^n$ ) y un exponencial (por ejemplo $n^x$ ). Por cierto, crece más rápido que los exponenciales. Puede que no hayas aprendido a diferenciar esto, todavía.

Sinceramente, todo lo que no sean polinomios.

Answer 5

Además de otras respuestas aquí, sólo los polinomios de orden entero positivo llegan finalmente a una derivada cero. La derivada repetida de cualquier polinomio $x^{y}$ donde $y$ no es un número entero o cuando $y<0$ nunca se convertirá en cero. (El logaritmo es un punto de partida especial para este último caso).