¿Cuántas permutaciones diferentes hay de la secuencia de letras en "MISSISSIPPI"?

Question

Hay 11 letras en la palabra.

M - 1
I - 4
S - 4
P - 2

por lo tanto, el número de permutaciones diferentes es $\dfrac{11!}{1! 4 !4!2!}$

¿Es esta la solución correcta?

Answer 1

¡Sí! Aquí está por qué es correcto:

Si numeraras cada una de las $I$s, $S$s y $P$s, habría 11! permutaciones de $$(M, I_1, I_2, I_3, I_4, S_1, S_2, S_3, S_4, P_1, P_2).$$

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Pero, como no te importan los números de las $P$s, cada permutación de $$(M, I_1, I_2, I_3, I_4, S_1, S_2, S_3, S_4, P, P)$$ es en realidad contada dos veces, una vez con $P_1$ antes que $P_2$ y una vez con $P_2$ antes que $P_1. Por ejemplo, en las permutaciones originales de 11! $M,I_1,S_1,S_2,I_2,S_3,S_4,I_3,P_1,P_2,I_1$$ se ve igual que $$M,I_1,S_1,S_2,I_2,S_3,S_4,I_3,P_2,P_1,I_1$$ si ignoramos los números de las $P$s.

Entonces, $\frac{11!}{2!}$ es el número de permutaciones de $$(M, I_1, I_2, I_3, I_4, S_1, S_2, S_3, S_4, P, P).$$

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Por la misma razón, encontramos 24 veces el número de permutaciones de $$(M, I_1, I_2, I_3, I_4, S_1, S_2, S_3, S_4, P, P)$$ como $$(M, I, I, I, I, S_1, S_2, S_3, S_4, P, P),$$ una por cada una de las $4! = 24$ ordenaciones de $(I_1, I_2, I_3, I_4).$ Así que hay $\frac{11!}{2!4!}$

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Y de nuevo hay 24 veces el número de permutaciones de $$(M, I, I, I, I, S_1, S_2, S_3, S_4, P, P)$$ como $$(M, I, I, I, I, S, S, S, S, P, P),$$ una por cada una de las $4! = 24$ ordenaciones de $(S_1, S_2, S_3, S_4).$ Así que hay $\frac{11!}{2!4!4!}$ en total.

Answer 2

Una solución alternativa:

• Elija $1$ de $11$ lugares para la M
• Elija $4$ de los $10$ lugares restantes para las I
• Elija $4$ de los $6$ lugares restantes para las S
• Elija $2$ de los $2$ lugares restantes para las P

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$$\binom{11}{1}\cdot\binom{10}{4}\cdot\binom{6}{4}\cdot\binom{2}{2}$$

Tenga en cuenta que puede aplicar este proceso en el orden que desee.