¿Por qué es $x_1 i = i x_1$ para quaternions?

Question

Según Wikipedia,

$$x+y = (x_0+y_0)+(x_1+y_1) i+(x_2+y_2) j+(x_3+y_3) k$$

y

$$\begin{align} x y &=( x_0 y_0 - x_1 y_1 - x_2 y_2 - x_3 y_3)\\ &+( x_0 y_1 + x_1 y_0 + x_2 y_3 - x_3 y_2) \mathrm i\\ &+( x_0 y_2 - x_1 y_3 + x_2 y_0 + x_3 y_1) \mathrm j\\ &+( x_0 y_3 + x_1 y_2 - x_2 y_1 + x_3 y_0) \mathrm k \end {Alinee el} $$

Está claro cómo hacer la adición, pero ¿cómo se obtiene la multiplicación? Sobre todo, por qué es

$x_1 \cdot \mathrm i \cdot y_0 = x_1 \cdot y_0 \cdot \mathrm i$ for $x_1, y_0 \in \mathbb{R}$

Podría ser una pregunta tonta, pero realmente no consigue. Le agradeceria si utilizas sólo lo sé por tu respuesta, si es posible.

Lo que sé

$$i^2 = j^2 = k^2 = -1$$ $$ijk=-1$$

lo que implica

$$\begin{align} ij &= k\\ ji &= -k\\ jk &= i\\ kj &= -i\\ ki &= j\\ ik &= -j \end{align}$$

y

$$\begin{align} (-1) \cdot \mathrm i &= \mathrm i \cdot (-1)\\ (-1) \cdot \mathrm j &= \mathrm j \cdot (-1)\\ (-1) \cdot \mathrm k &= \mathrm k \cdot (-1) \end {Alinee el} $$

Answer 1

Una cosa que debe ser dicho (que Tunococ ha mencionado en los comentarios) es que

elementos de $\Bbb F$ en cualquier asociativa $\Bbb F$-álgebra son esencialmente supone para ser central.

(Los "elementos de $\Bbb F$" son de curso $\{\lambda 1\mid \lambda\in \Bbb F\}$, su habitual incrustación).

Este se esconde en el axioma de la compatibilidad con los escalares. Para cualquier $\Bbb F$ álgebra $A$, y cualquier $x\in A$, que ese axioma da $\lambda x=((\lambda 1)x)1=(1(\lambda x))1=(\lambda x)1=x(\lambda 1)=x\lambda$.

Los cuaterniones son, después de todo, una de las $\Bbb R$-álgebra generada por $i,j$ con relaciones especiales. La perspectiva histórica en la cuádrupla artículo no realmente hacer un buen trabajo de explicar ese punto.

Un común definición alternativa de álgebras de hace aun más evidente. Es algo como "$\Bbb F$- álgebra a es un anillo de $A$ y un anillo homomorphism $r:\Bbb F\to Z(A)$" donde $Z(A)$ es el centro de la $A$. Asumiendo esta definición, se considera que la "regular" el álgebra son los axiomas satsified por $r(\Bbb F)$, que es (isomorfo a, por lo tanto) se identifican con $\Bbb F$.

Answer 2

$ix_1=x_1i$ es solamente un contrato y si definimos $x=x_0+ix_1+jx_2+kx_3$ y $y=y_0+iy_1+jy_2+ky_3$(there is no reason that define $x=x_0+x_1i+x_2j+x_3k$ or $y=y_0+y_1i+y_2j+y_3k$ and one of them can be used), entonces podemos definir $xy$ de la siguiente manera $$ \begin{align} x y &=( x_0 y_0 - x_1 y_1 - x_2 y_2 - x_3 y_3)\\ &+i( x_0 y_1 + x_1 y_0 + x_2 y_3 - x_3 y_2) \\ &+j( x_0 y_2 - x_1 y_3 + x_2 y_0 + x_3 y_1) \\ &+k( x_0 y_3 + x_1 y_2 - x_2 y_1 + x_3 y_0) \end{Alinee el} $$ y además se nota que $$ix_1=(0,x_1,0,0)=x_1i,(x_1=(x_1,0,0,0),i=(0,1,0,0),j=(0,0,1,0),k=(0,0,0,1))$ $ si definimos $$xy=(x_0 y_0 - x_1 y_1 - x_2 y_2 - x_3 y_3,x_0 y_1 + x_1 y_0 + x_2 y_3 - x_3 y_2,x_0 y_2 - x_1 y_3 + x_2 y_0 + x_3 y_1,x_0 y_3 + x_1 y_2 - x_2 y_1 + x_3 y_0).$ $