Categorificación de geometría

Question

No sé si esta idea es conocido, la relevancia o tonto, pero me di cuenta de que uno podría definir la conectividad abstracta con groupoids. Olvidemos acerca de la topología de un rato, y pensemos de manera algebraica.

Deje $G$ que no sea un vacío groupoid. La llamada es conectada si por alguna objetos de $x$ $y$ en $Obj(G)$, $Arr(x,y)$ es no vacío. Un "conectado" el mapa no es nada más que un functor de la conexión de la groupoids. En particular, uno podría ver cualquier groupoid como una suma (subproducto) de conectado groupoids.

Deje $[0,r]$ ser el verdadero intervalo de longitud de $r$ visto como un poset categoría. Se puede definir un camino de longitud $r$ como un functor $F: [0,r] \rightarrow G$. Es evidente que, dada dos functors $F_1: [0,r] \rightarrow G$, $F_2: [0,q] \rightarrow G$, si $F_2(0) = F_1(r)$, se puede definir su concatenación como $F_2 + F_1 : [0,r+q] \rightarrow G$ en la forma obvia.

Decir que dos functors de la misma longitud son homotópica si existe un natural de equivalencia entre ellos.

Por otra parte, es claro que existe una constante functors de longitud $q$, de tal manera que uno puede definir clases de equivalencia de caminos (después de la construcción de Brown para homotópica mapas) como sigue: dos functors $F_1$ $F_2$ son equivalentes si existe una constante functors $q$ $r$ tal que $r+F_1$ es homotópica a $q+F_2$.

Esto nos permite construir la categoría de $\Pi_1(G)$ que es un groupoid, cuyos objetos son los objetos de $G$ y las flechas son las clases de equivalencia de functors. Claramente, las composiciones dado como cls(F) + cls(G) = cls(F+G) está bien definida, obviamente asociativo, y se admite como identidad de la clase de la constante de functors. Por otra parte, existe una relación inversa para cada clase (de nuevo, dado que, obviamente, por la clase de los opuestos functor de algún representante).

Incluso se podría hablar de más "homotopy grupo" de groupoids (no necesariamente conectado) mediante la definición de las rutas desde el círculo (visto como una categoría, es decir, el pushout en Cat $[0,1] \leftarrow \{0,1\} \rightarrow 1$)$G$.

Mi pregunta es, ¿se podría tomar groupoids serio como la "base de espacios", olvidando todo acerca de la topología? ¿Por qué debemos incluso la atención acerca de la topología de la realidad?

Answer 1

Sí, pero es necesario utilizar algún modelo de mayor groupoids para captar la parte de homotopy teoría que no puede ser capturada por groupoids. Este es Grothendieck del homotopy hipótesis. Desafortunadamente, es difícil escribir modelos de mayor groupoids, y que en la práctica es a menudo (pero no siempre!) en el caso de que la manera más fácil de describir un mayor groupoid a otro ser humano es escribir un espacio topológico. Es decir, espacios topológicos son muy convenientes las presentaciones de mayor groupoids. Pero otras conveniente presentaciones son conocidos, por ejemplo, simplicial conjuntos.

Answer 2

@Qiaochu: La situación no es tan extrema como lo sugieren: podemos definir fácilmente la noción de $n$veces groupoid, y es cierto que estos modelos de todos los débiles homotopy $n$-tipos. Algunas formas de estos, por ejemplo, cuando uno de los groupoid estructuras es un grupo, han sido bien estudiados y aplicados. Sin embargo surgen homotopically no de la simple espacios, pero de $(n-1)$-cubos de (punta) los espacios. Para algunos telón de fondo de estas ideas, ver esta presentación (Galway, Dec, 2014), que explica cómo me fue llevado lejos de los espacios a ciertos espacios estructurados.

No es tan complicado, son algunos de los más groupoid estructuras de tratar con los filtrados de los espacios, como se describe en este 2011 EMS Tracto Nonabelian Topología Algebraica.