Integrar

Question

Calcular $$ me = \int_ {-1} ^ {3} \frac {\sqrt {\vphantom {\large A} \,x + 5\,} \,} {\left (1 + \sqrt{\vphantom{\large A} \,2x + 3\,} \,\right) ^ {2}} \, {\rm d} x $$

Aquí está lo que he probado:

Que $t = 1 + \sqrt{\vphantom{\large A}\,2x + 3\,}\,$ entonces tenemos ${\rm d}x=\left(t - 1\right)\,{\rm d}t$. Por lo tanto

$$ me = \frac {1} {\sqrt {\vphantom {\large A} \,2\,} \,} \int_{2}^{4}\frac{\left(t-1\right) \sqrt{\vphantom{\large A} \,\left (t - 1\right) ^ {2} + 7\,}} {t ^ {2}} \, {\rm d} t $$ ahora, me he pegado... alguien me puede ayudar??? Gracias.

Answer 1

El resultado final de su original integral es de $$\frac{5}{\sqrt{2}}-3-\frac{\log (98)}{\sqrt{2}}+\sqrt{2} \log \left(4+\sqrt{2}\right)+\frac{9}{8} \log \left(9-4 \sqrt{2}\right) \\=\frac{1}{2} \left(5 \sqrt{2}-6-\sqrt{2} \log \left(9-4 \sqrt{2}\right)+9 \tanh ^{-1}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)$$ de acuerdo a Mathematica (las dos formas son numéricamente iguales). Usted puede intentar calcular de la siguiente manera: en la segunda expresión, sustituto $x=\sqrt{(t-1)^2+7}-t$, $t = \frac{8-x^2}{2x+2}$. Esto convertirá el integrando en una función racional de $t$, los que siempre se puede integrar (en principio) por parciales de fracciones. Espero que esta no es la tarea, porque es probable que sea feo.