Sobre la noción de limsup y liminf

Question

Recientemente, estoy leyendo algo sobre la viscosidad de la solución de un PDE, y las nociones de limsup y liminf me persiguen todo el tiempo. Los siguientes son algunos ejemplos.

• La parte superior semi-continua de la envolvente de una función de $z: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ se define como $$ z^*(x) := \limsup_{x \rightarrow x}\ z(x') $$

• Supongamos que para cada partición $P$ del intervalo de $[0,T]$, nos da una (continua) la función $V^P: [0,T]\times \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$. Entonces, definimos $$ \bar{V}(t,x,y) := \limsup_{malla(P)\rightarrow 0, (t',x',y')\rightarrow (t,x,y)} V^P(t',x',y') $$ donde $mesh(P)$ es el tamaño de la malla de la partición.

• Supongamos que tenemos una secuencia de funciones de $f_n: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, entonces podemos definir $$ g(x) := \limsup_{n\rightarrow \infty}\ \sup_{x\in\mathbb{R}^n} f_n(x') $$

Formalmente me he aprendido limsup y liminf sólo en términos de secuencias, lo que me pregunto

• Cómo interpretar las anteriores definiciones de funciones en lenguaje matemático preciso? ($\epsilon$-$\delta$ descripción va a ser grande.)

• Si hay dos limitando los procesos como en el segundo ejemplo, ¿hay algún tipo de orden de la computación?

• Cómo generalizar la noción de limsup y liminf en más ajustes generales?

Answer 1

Si usted está familiarizado con la convergencia de las redes que no debería sorprendernos que el límite superior y el inferior se puede definir para cualquier neto de los números reales.

Para cualquier neto $(x_\alpha)_{\alpha\in I}$ de los números reales se define en general dirigida set $(I,\preceq)$ límite superior de la red se define como

$$\limsup x_\alpha = \lim_{\alpha\in I} \sup_{\beta\succeq\alpha} x_\beta=\inf_{\alpha\in I} \sup_{\beta\succeq\alpha} x_\beta.$$

Si recuerdo correctamente, puede ser definido de forma equivalente, como el clúster más grande punto de la red.

Algunas referencias:

• De infinitas Dimensiones de Análisis: Una Guía del Autoestopista galáctico Por Charalambos D. Aliprantis, Kim C. de la Frontera, en la Página 32.

• Una introducción al espacio de Banach teoría de Robert E. Megginson, Página 217. (Y también un poco de ejercicio al final de esa sección.)

• Manual de análisis y de sus fundamentos por Eric Schechter, Secciones 7.43-7.47. (Este libro se ocupa de un caso más general de las redes en completa celosías.)

• Topologías sobre cerrado y cerrado conjuntos convexos por Gerald Alan Cerveza, Página 2

• Ellos también son mencionados en la wikipedia, pero la definición dada en los libros que he mencionado es, en mi opinión, mejor para la persona que aprende acerca de esta noción por primera vez.

Yo creo que todas las situaciones que has mencionado en tu post, pueden considerarse como casos especiales de limsup y liminf de redes. Pero este enfoque será probablemente útil sólo para alguien que está familiarizado con el uso de la convergencia de las redes, al menos un poco.

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EDIT: tal vez vale la pena mencionar cómo exactamente su situación puede ser transformado a la limsup y liminf de redes. Supongo que es suficiente con que si me explique, ¿cuál es la dirigida a trabajar con.

Para$x'\to x$$\mathbb R^n$, la red podría ser $\mathbb R^n\setminus\{x\}$ dirigida por $x'\le y'$ $\Leftrightarrow$ $d(y',x)\le d(x',x)$. (Usted puede elegir cualquiera de métricas de equivalente de $\mathbb R^n$.)

En el segundo caso podríamos trabajar con cuádruples $(P,t',x',y')$ tal que $P$ es una partición y $t'\ne t$, $x'\ne x$, $y'\ne y$. Los pedidos pueden ser dadas por $(P_1,t'_1,x'_1,y'_1)\le (P_2,t'_2,x'_2,y'_2)$ $\Leftrightarrow$ $mesh(P_2)\le mesh(P_1)$ y $(t'_2,x'_2,y'_2)$ está más cerca de a$(t,x,y)$$(t'_1,x'_1,y'_1)$. (De nuevo, muchas equivalente métricas pueden ser elegidos).

Tenga en cuenta que estas redes son muy naturales para elegir - desde la convergencia de esta red es precisamente la convergencia usted trabaja con, si usted sustituye $\limsup$$\lim$.

Answer 2

Respecto a tu ejemplo 2, permítanme simplificar su configuración un poco y se supone que uno se le da una real función con valores de $(P,x)\mapsto V(P,x)$ y una función no negativa $P\mapsto m(P)$. Aquí $x$ es un número real y $P$ puede pertenecer a cualquier conjunto en el que $m$ está definido, posiblemente con ninguna estructura adicional (usted puede pensar de $m$ como su malla).

¿Cómo definiría el límite de $L$ $V(P,x)$ al $x\to x_0$, dicen, y $m(P)\to0$? Supongo que a usted le haga las siguientes preguntas: $$ \forall\varepsilon\gt0, \exists\alpha\gt0, \exists \mu\gt0, \forall (x,P), [|x-x_0|\leqslant\alpha, m(P)\leqslant\mu ]\implica [|V(P,x)-L|\leqslant\varepsilon ]. $$ Asimismo, el limsup que podría ser definido como $$ \color{red}{\limsup V(P,x)=\lim_{(\alpha,\mu)\a(0,0)}W(\alpha,\mu)}, $$ donde, para cada $(\alpha,\mu)$ tal que $\alpha\gt0$$\mu\gt0$, $$ \color{color púrpura}{W(\alpha,\mu)=\sup\mathcal V} \quad\text{donde}\quad\color{color púrpura}{\mathcal V=\{V(P,x);|x-x_0|\leqslant\alpha, m(P)\leqslant\mu\}}. $$ Como en el caso habitual, la función de $(\alpha,\mu)\mapsto W(\alpha,\mu)$ es no decreciente, por tanto el límite es también un infimum, que es, $$ \color{color marrón}{\lim_{(\alpha,\mu)\a(0,0)}W(\alpha,\mu)=\inf\mathcal W} \quad\text{donde}\quad\color{color marrón}{\mathcal W=\{W(\alpha,\mu); \alpha>0,\mu>0\}}. $$